C. Cyclic Permutations(组合数学+单峰序列)

Problem - 1391C - Codeforces

 题意:

一个长度为n的排列是由1到n的n个不同的整数按任意顺序组成的数组。例如，[2,3,1,5,4]是一个排列组合，但[1,2,2]不是排列组合（2在数组中出现两次），[1,3,4]也不是排列组合（n=3但数组中有4）。

考虑一个长度为n的排列组合p，我们用它建立一个大小为n的图，如下所示。

对于每一个1≤i≤n，找到最大的j，使1≤jpi，并在节点i和节点j之间添加一条无方向的边
对于每一个1≤i≤n，找到最小的j，使ipi，并在节点i和节点j之间增加一条无向边
在不存在这样的j的情况下，我们不做边。另外，请注意，我们在相应的指数之间建立边，而不是在这些指数的值之间建立边。

为了清楚起见，举个例子，n=4，p=[3,1,4,2]；这里，图的边是(1,3), (2,1), (2,3), (4,3)。

如果使用p构建的图形至少有一个简单的循环，那么一个排列组合p就是循环的。

给定n，找出长度为n的循环排列数。由于这个数字可能非常大，请输出109+7的模数。

关于简单循环的正式定义，请参考注释部分。

题解:

给一个 n 的全排列，然后构建一个图，节点为每个数的下标，数组中的每个数可以与右边第一个大于它的数，左边第一个大于它的数连接无向边，问在 n 的全排列中有多少排列构成的图中存在简单环。

通过观察我们可以发现,如果一个数两边的数都有大于这个数的,这个排列构成的一定是一个有环的图

比如i,j,k,如果j < i&&k > j   j会与i和k相连

由于这是一个排列组合 j要么大于k,k要么大于j

j和k也会相连,就构成一个环

正着想如何构建一个有环的排列不太好想,不如反过来想,多少不能构成,由于要构成,需要两边都有大于他的数,换句话来说,我们让一侧没有大于他的数即可,

即一边单调递减

引入一个概念单峰序列

排列大小类似这种

有2^(n-1)种单峰序列

证明:把排列从大到小排好,先放一个n,剩下的数按照从大到小的顺序,要么排左边,要么排右边

所有时2^(n-1)种单峰序列

把所有排列组合-不能构成的即为所求

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	long long ans = 1,n;
	cin >>n;
	int mod = 1e9+7;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		ans = ans*i%mod;
	}
	long long k = 1;
	for(int i = 1;i <= n-1;i++)
	{
		k = k*2%mod;
	}
	cout<<(ans-k+mod)%mod;
}