力扣刷题day45|300最长递增子序列、674最长连续递增序列、718最长重复子数组

300. 最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
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示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
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示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
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思路

如果现在当前的数i大于前面i-1个数中最大的递增子序列，那么现在的递增子序列长度肯定是前一个数递增子序列长度加一

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾最长递增子序列的长度

2. 确定递推公式

假设j是0到i-1之间的值，那么j如果当前nums[i] > nums[j]，位置i的最长递增子序列等于j从0到i-1各个位置的最长递增子序列 + 1 的最大值。

注：此时j一定要取到前面的i-1个数，而不能只取nums[i-1]，因为子序列只用保证是原序列的相对顺序，如果中间有小的值序列直接跳过

3. dp数组如何初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1。

4. 确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历，遍历i的循环在外层。

然后遍历j在内层，j其实就是0到i-1，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
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5. 举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

完整代码：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    // 初始化
    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp,1);
    int res = 0;
    // 外层i，内层j
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        for (int j =0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        // 找到最长递增子序列
        if (dp[i] > res) {
            res = dp[i];
        }
    }
    
    return res;
}
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674. 最长连续递增序列

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给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 
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示例 2：

输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
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思路

如果现在当前的数i大于前一个数i-1，那么现在的递增子序列长度肯定是前一个数递增子序列长度加一

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]表示以nums[i]结尾的最长连续递增子序列的长度为dp[i]

2. 确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以i为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i-1为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

注：因为本题要求连续递增子序列，所以就必要比较nums[i + 1]与nums[i]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

3. dp数组如何初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1。

4. 确定遍历顺序

dp[i] 是由i-1的位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历，只用一层for循环遍历i。

5. 举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

完整代码：

public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
    // 初始化
    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp,1);
    int res = 1; // 只有一个元素的情况

    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] > nums[i - 1]) {
            dp[i] = dp[i - 1] + 1;
        }
        res = res > dp[i] ? res : dp[i];
    }

    return res;
}
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718. 最长重复子数组

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给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
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示例 2：

输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5
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思路

注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A（以A[i-1]为结尾的字符串），和以下标j - 1为结尾的B（以B[i-1]为结尾的字符串），最长重复子数组长度为dp[i][j]。

注：也可以定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度，这样定义实现起来更麻烦，可以但没必要这样

2. 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。因为确定了两个下标后，两个数组的元素要同时往后移

3. dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！因为没有以下标-1为结尾的A数组

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1，所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

如下示例：

A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来
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4. 确定遍历顺序

对于这道题来说，两个for循环，A、B两个数组哪个放在内层哪个放在外层都行

这道题使用：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        res = res > dp[i][j] ? res : dp[i][j];
    }
}
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5. 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

完整代码：

public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
    int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
        for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
            if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            }
            res = res > dp[i][j] ? res : dp[i][j];
        }
    }

    return res;
}
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滚动数组

我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。

也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。

完整代码：

// 滚动数组
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
    int[] dp = new int[nums2.length + 1];
    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
        for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
            if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                dp[j] = dp[j - 1] + 1;
            }else {
                dp[j] = 0;
            }
            res = res > dp[j] ? res : dp[j];
        }
    }

    return res;
}
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