PC_浮点数加减运算

机器数_浮点数加减运算

• 浮点数计算特点是阶码和尾数分开计算

• 根据假设条件/给定条件:

  • 阶码一般为整数,可能使用的是移码或者补码来表示
  • 尾数一般为绝对值小于1的规格化数(定点原码表示或者定点补码)

• 🎈一般默认阶码和尾数都是用补码来表示

对阶

• 使得两个操作数的小数点位置对齐

  • 表现为两个数的阶码相等

• 步骤:

  • 设两个规格化浮点数(强调规格化是为了便于讨论)为:(书面书写,就不必使用严格的机器标准IEEE 754)

    • $a=E_a{S}_a$

    • $b=E_b{S}_b$

    • $设E_a<E_b$

    • 基数默认为2,浮点数的阶码和尾数分别用E,S表示

  • 求阶差$\delta$

  • 然后小阶向大阶看齐

    • $尾数S_a向右移1位,E_a更新为E_a+1$
    • $重复执行\delta 次,就可以使得a,b的阶对齐(E_a=E_b)$

尾数求和

• 按照定点数的加减方法进行求和
  • 相当于做连个定点数加/减法
• 此阶段得到的结果不一定是规格化的

规格化

• 前一步操作得到的结果进行规格化,其手法在浮点数的表示中介绍过
• 但是这里考虑规格化数的补码形式
  • PC_规格化数及尾数相关表示形式和范围_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客_规格化尾数

舍入

• 依然以补码的角度考虑

0舍1入

• 类似于十进制(真值)的四舍五入

• 只有右归(末尾(若干)小数)被移丢时,才有考虑舍入的必要(有意义)

• 基本原理是,补码函数C(x)在正数区间和负数区间内部:

  • $|C(x_1)|<|C(x_2)|\iff x_1<x_2$
  • 假设右移的时候,被移去的小数的位段是$x_m\cdots x_n$
    • 那么根据$x_m$:
      • 如果$x_m=1$则+1(入)
      • 否则+0

例

• $$\begin{gathered} 假设某个求和结果: \\ (x-y{)}_{补}=11,00;10.110001 \\ 根据双符号位的性质,上述结果是一个溢出(负溢出)值 \\ 需要进行右归 \\ (x-y{)}_{补}=11,00;11.011000\underset{♣}{1} \\ (注意,溢出的双符号位在右移时,只有低位参与右移, \\ 并将缺失的低位符号用高位符号补位,得到不溢出的结果) \\ 现在发现被右移操作移出去的(最高)bit是1,于是根据0舍1入, \\ 对其进行末尾数码+1处理 \\ \begin{array}{rlrl}& & 11.011000& \\ & +& 1& \\ & & 11.011001& \end{array} \\ 所以(x-y{)}_{补}=11,00;11.011001 \end{gathered}$$

  • PC_二进制移位/定点数移位/算数移位及其移位后的空位添补规则+补码原码反码在结构上的联系_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客

溢出判断

• 舍入操作中的:舍0入1法可能会执行尾码加1操作
  • 这可能引发连续进位导致溢出
  • 因此,舍入后可能还要在判断溢出
    • 如果发现溢出,需要重新规格化(右归)(而不会是左归)
  • 规格化可以消除尾数部分的溢出(可以称为伪溢出)现象
  • 当规格化完成后,在看看阶码是否处在合理的范围内
• 浮点数的溢出更重要的是规格化尾数后的阶码是否溢出
  • 假设阶码用两位符号位表示,那么根据补码的溢出判定方法:
    • 浮点数$F=2^j\cdot S$
    • 阶码(指数)的补码$C(j)$的两位符号位不同时认为发生溢出
    • $C(j)=01,\cdots$
      • 这种情况是浮点数发生上溢(对应于阶码正溢出)
      • 一般浮点溢出指定是上溢(本情况)
      • 这种情况需要溢出处理
    • $C(j)=10,\cdots$
      • 这种情况是浮点数发生下溢(对应于阶码负溢出)
      • 浮点数F被处理为机器零(真值十分接近0)

例

• $$\begin{gathered} (x-y{)}_{补}=11,00;11.011001 \\ 其阶符为11 \\ 因此认定为无溢出x-y=2^{-3}\cdot -0.100111 \end{gathered}$$

双符号位浮点数的补码表示范围

• 下面是规格化后的范围(补码)
• 若机器数为补码,尾数为规格化形式
  • 并假设:
    • 阶符取2位,
    • 阶码的数值部分取7位
    • 数符取2位
    • 尾数的数值部分取n位
  • 则它们能表示的补码在数轴上的表示范围
    • 
    • $ A 最小负数 2^{+127} \times(-1)$
    • $B最大正数2^{+127}\times \left(1-2^{-n}\right)$
    • $a最大负数2^{-128}\times \left(-2^{-1}-2^{-n}\right)$
    • $b最小正数2^{-128}\times 2^{-1}$
  • 由于四个临界值都是补码形式,对应的真值范围和之前讨论过的真值(非规格化)浮点数范围有所不同
    • 可以发现,它们的阶码部分还是对称的!
    • 另外,最大的特点在于,补码能够表示的最大负数(对应于上面的指数部分):
      • $-2^{-n}=-0.0\cdots {01}_{n-1个0}$
      • $-2^n=-10\cdots {00}_{n个0}$
      • $C(-2^{-n})=1.0\cdots 00_{n个0}$
      • $C(-2^n)=1,0\cdots 00_{n个0}$
      • 也就是说,给定7个数值位,可以表示最大负数为$-2^7=-2^7$

examples

例(基于补码的例)

• $$\begin{gathered} x=0.1101\times 2^{01} \\ y=(-0.1010)\times 2^{11} \\ 两个数的阶码和尾数均以补码形式保存 \\ 除了基数2,其余数都是二进制形式 \\ 2个浮点数的补码:(为了便于判断溢出,阶码和尾数都采用双符号位形式) \\ 以分号分割阶码和尾数;E或者j表示阶码;S表示尾数 \\ C(x)=00,01;00.1101 \\ C(y)=00,11;11,0110 \end{gathered}$$

  • 对阶

    • $$\begin{gathered} 阶差C(\delta )=C(E_x)-C(E_y)=C(E_x)+C(-E_y)=00,01+11,01=11,10 \\ T(\delta )=11,01+1=11,10 \\ \delta =-2 \\ 计算阶差的真值方法不唯一(直接从给定的x,y真值算更快捷) \end{gathered}$$

真值+浮点数+定点数的转问题

基本规格化问题

十进制数的浮点数和定点数的表示形式示例

基于原码的规格化数(单符号位)

🎈浮点数加减规格化综合

浮点数加减法预处理分析小结

• 由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前,所以尾数的加减运算规则与定点数的完.全相同。

• 但由于其阶码的大小又直接反映尾数有效值小数点的实际位置,

  • 因此当两浮点数阶码不等时,因两尾数小数点的实际位置不一样,尾数部分无法直接进行加减运算。
  • 为此,浮点数加减运算必须按以下几步进行

(1) 对阶,使两数的小数点位置对齐。(阶数决定小数点实际位置)

• 对阶的目的是使两操作数的小数点位置对齐,即使两数的阶码相等。
• 为此,首先要求出阶差,再按小阶向大阶看齐的原则,使阶小的尾数向右移位,
  • 每右移一位,阶码加1,直到两数的阶码相等为止。
  • 右移的次数正好等于阶差。
• 尾数右移时可能会发生数码丢失,影响精度。

(2) 尾数求和,将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)
(3) 规格化,为增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和 (差)后的尾数规格化。
(4) 舍入,为提高精度,要考虑尾数右移时丢失的数值位。
(5) 溢出判断, 即判断结果是否溢出

• 设两个浮点数

x = S x ⋅ r j x y = S y ⋅ r j y

x=Sx​⋅rjx​y=Sy​⋅rjy​​

• S为尾数,其余部分为阶数

浮点数加法例

浮点数减法示例