【力扣刷题】预测赢家

🔗 题目链接

题目描述

给你一个整数数组 nums 。玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。

玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0 。每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ）。玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。

如果玩家 1 能成为赢家，返回 true 。如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true 。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

题目求解

递归法

这道题我们把玩家 1 和玩家 2 都想象成绝对聪明的人，他们都会做最优的选择。先把问题简化，找出玩家 1 和玩家 2 比分的分差，看这个分差大于 0 还是小于 0：

• 当这个数组只有一个数的时候，即[1]这个数组，那么无论怎么选玩家 1 都会胜利，玩家 1 得到 1 分，玩家 2 没得分，分差为 1；

• 当游戏数组有两个数的时候，如[1, 5]：

  • 玩家 1 选左边，玩家 1 得到 1 分，玩家 2 得到 5 分，玩家 1 比玩家 2 少 4 分，玩家 1 败（得分差是-4）。
  • 玩家 1 选右边，玩家 1 得到 5 分，玩家 2 得到 1 分，玩家 1 比玩家 2 多 4 分，玩家 1 胜（得分差是-4）。

  所以，当有两个数的时候，当前玩家要选择较大的那个数。

• 当游戏数组有三个数的时候，如[1, 5, 7]：

  • 玩家 1 选择左边，玩家 2 从[5, 7]中选择较大的数。最终，玩家 1 得 6 分，玩家 2 得 7 分，玩家 1 比玩家 2 少 1 分，玩家 1 败（得分差是-1）。
  • 玩家 1 选择右边，玩家 2 从[1, 5]中选择较大的数。最终，玩家 1 得 8 分，玩家 2 得 5 分，玩家 1 比玩家 2 多 3 分，玩家 1 胜（得分差是＋3）。
  • 因此，玩家 1 要先选择右边。

  有三个数组的时候，玩家 1 选走左边（或右边）后，要计算胜利的数组的分差。然后用，选走的数减去剩下分差，就是玩家 1 最终得分，然后比较取走左边（或右边）的情况下哪个大，则表示玩家 1 最终得分。如果玩家 1 得分为正，则胜利，否则为失败。

• 以此类推，游戏数组有 4 个数的时候，还是按照上面的递归方式，先取走左边（或右边）把剩下数组变成 3 个数组，然后按照上面的方法继续递归处理。我们以[1, 5, 88, 7]数组为例，来梳理题意。其中，红色表示玩家 1，绿色表示玩家 2。
  

  我们发现，当玩家 1 第一次选择 1 的时候，最终是一定会胜利的。当玩家 1 第一次选择 7 的时候，最后可能会失败。所以，玩家 1 第一次要选择 1。

当游戏数组有 n 个数的时候，玩家 1 作为先手从 [0,n-1] 中选择：

• 当玩家 1 选择 nums[0]，玩家 2 成为先手从 [1, n-1] 中选择：
  • 玩家 2 选择 nums[1]，玩家 1 又成为先手从 [2, n-1] 中选择：
    • 玩家 1 选择 nums[2] …（进入递归）
    • 玩家 1 选择 nums[n-1] …（进入递归）
  • 玩家 2 选择 nums[n-1]，玩家 1 又成为先手从 [1, n-2] 中选择：
    • 玩家 1 选择 nums[1] …（进入递归）
    • 玩家 1 选择 nums[n-2] …（进入递归）
  • 玩家 2 来比较选择左右两边，取最大值
• 当玩家 1 选择 nums[n-1] ，玩家 2 成为先手从 [0, n-2] 中选择：
  • …
  • …
• 玩家 1 比较选择左右两边，取最大值，如果最大值大于 0 则胜利

玩家 1 选择 nums[0] 时，玩家 1 已经得了 nums[0] 对应的分数。接下来，玩家 2 成为了先手，我们就来看看玩家 2 作为先手在 [1, n-1] 中比玩家 1 多得（或少得）多少分，这个分数就是玩家 1 在后续的游戏中比玩家 2 少得（或多得）分数，两者相减就可知玩家 1 最终比玩家 2 多得（或少得）多少分。

同样的道理，如果玩家 1 选择nums[n-1]，那么接下来看[0, n-2] 中玩家 1 的分差。

最终，两个分差取最大值，如果该值大于 0 则玩家 1 胜利，否则失败。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var PredictTheWinner = function (nums) {
  const totalScore = (start, end) => {
    // 只剩下1个数，只能选择这个数
    if (start == end) return nums[start];
    // 当前玩家选择左边的数 nums[start]，对手则从 [start+1, end] 来选择
    const scoreStart = nums[start] - totalScore(start + 1, end);
    // 当前玩家选择右边的数 nums[end]，对手则从 [start, end-1] 来选择
    const scoreEnd = nums[end] - totalScore(start, end - 1);
    return Math.max(scoreStart, scoreEnd);
  };
  return totalScore(0, nums.length - 1) >= 0;
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

此题采用递归法求解，递归思路就是把大问题拆解，看到子问题，然后自底而上地解决，算法比较好理解，但是会重复计算，所以时间效率较低。

记忆化递归

上面的方法中，会出现重复计算的情况，这时候我们可以把已经计算过的存储起来，这样就避免了重复计算。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var PredictTheWinner = function (nums) {
  // 二维数组，存储计算过的数据
  const tempArr = new Array(nums.length);
  for (let i = 0; i < tempArr.length; i++) {
    tempArr[i] = new Array(nums.length);
  }
  const totalScore = (start, end) => {
    // 只剩下1个数，只能选择这个数
    if (start == end) return nums[start];
    // 如果存储的数组有值，则表示计算过，直接返回
    if (tempArr[start][end] !== undefined) return tempArr[start][end];
    // 当前玩家选择左边的数 nums[start]，对手则从 [start+1, end] 来选择
    const scoreStart = nums[start] - totalScore(start + 1, end);
    // 当前玩家选择右边的数 nums[end]，对手则从 [start, end-1] 来选择
    const scoreEnd = nums[end] - totalScore(start, end - 1);
    tempArr[start][end] = Math.max(scoreStart, scoreEnd);
    return tempArr[start][end];
  };
  return totalScore(0, nums.length - 1) >= 0;
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

使用记忆化递归后，耗时明显减少。

动态规划

状态定义：dp[i][j]表示作为先手玩家在区间nums[i, j]中获得的相对分数。

相对分数：自己得分为正，对手得分为负。

状态转移方程为：

画出状态转移矩阵，因为i>j才有意义，所以只需要画出矩阵的上半部分。按照表格中的顺序，依次依次计算 dp[0][1]、dp[1][2]、dp[0][2]、dp[2][3]、dp[1][3]、dp[0][3]…

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var PredictTheWinner = function (nums) {
  const len = nums.length;
  const dp = new Array(len);
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    dp[i] = new Array(len);
    dp[i][i] = nums[i];
  }
  // 依次计算 dp[0][1]、dp[1][2]、dp[0][2]、dp[2][3]、dp[1][3]、dp[0][3]......
  for (let j = 1; j < len; j++) {
    for (let i = j - 1; i >= 0; i--) {
      dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
    }
  }
  return dp[0][len - 1] >= 0;
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19