数学基础之博弈论

1.移棋子游戏

mex为最小的不存在的自然数

#include
using namespace std;
const int N=2e3+10,M=2e4+10;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int n,m,k;
int f[N];
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int sg(int u)//求sg函数
{
    if(f[u]!=-1) return f[u];
    set<int> S;//存集合中的已经有的自然数
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i])//枚举所有能到的边
    {
        int j=e[i];
        S.insert(sg(j));//把能到的点的sg值放进集合中
    }
    for(int i=0;;i++)//枚举集合中不存在的最小自然数
        if(S.count(i)==0) return f[u]=i;//返回即可
}
int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    memset(f,-1,sizeof f);//初始化为-1表示没有给过值
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    while(m--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    int res=0;//一开始是0，你也可以给1或者其他输，但是判断时对应要改
    while(k--)
    {
        int u;
        scanf("%d",&u);
        res^=sg(u);//异或每个棋子的sg值
    }
    if(res==0) puts("lose");//假如异或后是一开始的res则就输
    else puts("win");
    return 0;
}

2.取石子

结论：在所有堆的石子个数>1的情况下

只要石子数+石子的堆d数-1==b是奇数，那么先手必胜。b是不计算所有个数为1的石子堆得出的。的

b是奇数的情况下一定存在一个偶数后继，是偶数的情况下一定是奇数后继

证明

a是石子为1的堆，b是 石子大于1的堆+堆里是石子总数-1 

 第四个合并a中两个，说明出现的一堆大于1的堆然后b就+1（合并出来的堆）+2（多的两个石子） 

为什么b==0和不等于0的情况影响不一样 因为第一次要先减一个1 后面都不需要

b是 石子大于1的堆+堆里是石子总数-1 

#include
using namespace std;
const int N=55,M=50010;
int f[N][M];
int dp(int a,int b)
{
    int &v=f[a][b];
    if(v!=-1) return v;//假如求过
    if(!a) return v=b%2;//假如个数为1的堆是空，则直接返回b是不是奇数
    if(b==1) return dp(a+1,0);//假如b是1了，说明b中最后一堆只有一个数放在a中
    if(a&&!dp(a-1,b)) return v=1;//a中取一个
    if(b&&!dp(a,b-1)) return v=1;//b中取一个或者合并b中两堆
    if(a>=2&&!dp(a-2,b+(b?3:2))) return v=1;//合并一个数的堆，则变成了一个个数为2的堆，加到b中
    if(a&&b&&!dp(a-1,b+1)) return v=1;//合并a b中个一堆
    return v=0;
}
int main()
{
    memset(f,-1,sizeof f);//初始化为-1，表示没用过
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        //不用重新初始化因为每次的状态是一样的
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int a=0,b=0;
        for(int i=0;i
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(x==1) a++;//假如个数是1个，则一个数的堆++
            else b+=b?x+1:x;//假如b是0，则加1个，反之加x+1个
        }
        if(dp(a,b)) puts("YES");//看看能不能走到必胜态
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

3.取石子游戏

待细补

n堆石子只能取左右堆的石子，可以取任意个>0&&<=堆的总数，没得操作的输

定义一个left[i][j]跟right[i][j],表示在i,j这个状态的左边放多少个棋子可以使先手必败，right也同理

答案就是判断一下left[[2][n]==a[1],假如等于就是先手必败，反之必胜

left[i][j]的推法：

 

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int a[N];
int l[N][N],r[N][N];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int len=1;len<=n;len++)//枚举区间长度
            for(int i=1;i+len-1<=n;i++)//枚举左右l,r
            {
                int j=i+len-1;//左边的j
                if(len==1) l[i][j]=r[i][j]=a[i];//假如长度是1，则左右边直接给相同的石子即可
                else
                {
                    //先求left[i][j]
                    int L=l[i][j-1],R=r[i][j-1],X=a[j];
                    if(R==X) l[i][j]=0;//判断1
                    else if(XL&&X>R) l[i][j]=X;//判断2和5
                    else if(L>R) l[i][j]=X-1;//判断3
                    else l[i][j]=X+1;//判断4
                    //在求right[i][j]做法一样
                    L=l[i+1][j],R=r[i+1][j],X=a[i];
                    if(L==X) r[i][j]=0;
                    else if(XL&&X>R) r[i][j]=X;
                    else if(R>L) r[i][j]=X-1;
                    else r[i][j]=X+1;
                }
            }
        if(n==1) puts("1");
        else printf("%d\n",l[2][n]!=a[1]);//判断先手是否不是必败即可
    }
    return 0;
}