树和森林基础

目录

一、树的基本概念 

二、结点之间的关系描述 

三、结点、树的属性描述 

四、有序树，无序树和森林

五、树的常考性质

六、树的遍历

七、树的存储结构 

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一、树的基本概念 

• 树：从树根生长，逐级分支
• 空树：结点数为0的树 
• 非空树的特性：

1.有且仅有一个根节点 
2.没有后继的结点称为“叶子结点”（或终端结点） 
3.有后继的结点称为“分支结点”（或非终端结点）
4.除了根节点外，任何一个结点都且仅有一个前驱
5.每个结点可以有0个或多个后继

• 树是n（n>=0）个结点的有限集合,n=0时，称为空树，这是一种特殊情况。在任意一颗非空树中应满足： 

1.有且仅有一个特定的称为根的结点
2.当n>1的时候，其余结点可分为m(m>0)个互不相干的有限集合T1，T2...Tm，其中每个集合本身又是一颗树，并且称为
根结点的子树。 

二、结点之间的关系描述 

• 祖先结点：是从根到该结点所经分支上的所有结点

上图中，“你”结点的祖先结点有“父亲”，“爷爷”
“M”结点的祖先结点有“H”，“三叔”，“爷爷”

• 子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。

上图中，“父亲”结点的子孙结点有“你”，“K”，“L”和“F”

• 双亲结点（父结点）：一个结点的直接前驱是它的父结点

上图中，“你”的双亲结点是“父亲”

• 孩子结点：一个结点的直接后继就是它的孩子结点

上图中，“你”结点，“F”结点都是“父亲”结点的孩子结点

• 兄弟结点：由同一个结点得到的其它结点且位于同一层的结点是兄弟结点

上图中，“父亲”结点，“二叔”结点和“三叔”结点之间是兄弟的关系，所有可以说“二叔”结点是“父亲”结点的
兄弟结点

• 堂兄弟结点：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟
• 两个结点之间的路径：该路径是单向的，且只能从上往下
• 路径长度：指经过了几条边 

三、结点、树的属性描述 

• 结点的层次（深度）--从上往下数

“爷爷”结点位于第一层，“父亲”，“二叔”和“三叔”位于第二层...

• 结点的高度--从下往上数

“K”，“L”和“M”三个结点的高度都是为1；....；“父亲”，“二叔”和“三叔”三个结点的高度都是3...

• 树的高度（深度）--总共多少层

上图中，树的高度为4

• 结点的度--有几个孩子（分支）

上图中，“父亲”结点有两个分支，所以它的度为2；“二叔”结点有一个分支，所以它的度为1；“K”结点没有分支，所以它的度为0

• 树的度--各结点的度的最大值

上图中，“三叔”结点的分支最多为3，所有树的度为3 

四、有序树，无序树和森林

• 有序树--从逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能互换
• 无序树--从逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是无次序的，可以互换
• 注意：具体要看你用树存什么，是否需要用结点的左右位置反映某些逻辑关系 
• 森林是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。
• 结点的度--结点有几个孩子 

 

五、树的常考性质

• 考点1：结点数=各结点的度数和（总度数）+1 

比如“A”结点的度数为3（3相当于第2层的结点个数）；“B”结点的度数为2，“C”结点的度数为1，“D”结点的度数为3，那么2+1+3=6（相当于是第3层的结点个数）；“E”结点的度数为2，“H”结点的度数为1,那么2+1=3（相当于是第4层的结点个数）

各结点的总度数=第2层结点数+第3层结点数+....
所以结点数=总度数+1 

• 考点2：度为m的树，m叉树的区别

 树的度--各结点的度的最大值；m叉树--每个结点最多只能有m个孩子的树

• 考点3：度为m的树第i层至多有m^(i-1)个结点（i>=1）

m叉树第i层至多有m^(i-1)个结点 

•  考点4：高度为h的m叉树至多有((m^h)-1)/(m-1)个结点

分析：高度为h---意味着该树有h层；m叉树---意味着每个结点最多只能有m个孩子
计算该树最多的结点数目的时候：第1层有m^0=1个结点；第2层有m个结点，第3层：第2层的第1个结点有m个结点（对应第3层有m个结点），第3层的第2个结点有m个结点（对应第3层有m个结点）+.....，一共有m个m，也就是m^2，所以第3层有m^2个结点；第4层有m^2个m的结点，也就是m^3个结点.....第n=h层有m^(h-1)个结点。
最多的结点数：1+m+m^2+....+m^(h-1)=(1-m^h)/(1-m)

 

•  考点5：高度为h的m叉树至少有h个结点；高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点

对于第一种：可以让第1层到第h层都是1个结点。
对于第二种：度为m---意味着有一个结点必须有m个孩子，那么可以让第1层到第h-1层都是一个结点，第h层有m个结点此时共有h-1+m个结点 

 

六、树的遍历

•  先根遍历：

1.访问根结点；2.按照从左到右的次序先根遍历根结点的每一棵子树
上图先根遍历得到：A BEF CGJ DH IKLM

• 后根遍历：

1.按照从左到右的次序后根遍历根结点的每一棵子树；2.访问根结点
上图后根遍历得到：EFB JGC H KLMID A

• 层次遍历：

1.访问第1层的结点（根结点）；2.按照从左到右的次序依次访问第2层....，第h层的结点
上图层次遍历得到：ABCDEFGHIJKLM

七、树的存储结构 

• 1.双亲存储结构（顺序存储）

用一维数组来存放一棵树的所有结点，每个结点除了存放本身信息外，还要存放其双亲在
数组中的位置。
每个结点有两个域：
data——存放结点信息
parent——存放该结点双亲在数组中的位置
特点：求某个结点的双亲结点十分容易 

 

#define MAXSIZE 100
#define  char  ElemType
typedef struct PTreeNode
{
    ElemType data;
    int parent;//双亲指示器，指示结点的双亲在数组中的位置
}PTreeNode;
 
typedef struct PTree
{
    PTreeNode nodes[MAXSIZE];
    int r, n;//r表示根结点在数组中的位置，n表示树中结点总数
}PTree;

•  2.孩子链存储结构（链式存储结构）

每个结点的孩子用单链表存储。
n个结点可以有n个孩子链表（叶子结点的孩子链表为空表）
n个孩子链表的头指针用一个向量表示。
特点：求某个结点的孩子容易，求双亲难

#define char ElemType
#define MAXSIZE 20
typedef struct CTNode
{
    int child;//child域存放结点在一维数组中的位置
    struct CTNode* next;
}*ChildPtr;//ChildPtr指向孩子结点的指针
 
typedef struct
{
    ElemType data;//data域存放结点本身的信息
    ChildPtr firstchild;//firstchild域存放第一个孩子的指针
}CTBox;
 
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAXSIZE];
    int n, r;//n表示树的结点数，r存放根结点的位置
}CTree;

• 3.孩子兄弟链存储结构

每个结点的左链域指向该结点的第一个孩子，右链域指向下一个兄弟结点
特点：可以方便的实现树和二叉树的相互转换

typedef struct CSNode
{
    ElemType data;
    struct CSNode* vp;//指向孩子结点的指针
    struct CSNode* hp;//指向兄弟的指针
}CSNode;