单目标应用：萤火虫算法（Firefly Algorithm，FA）优化RBF神经网络实现数据预测（RBF隐藏层神经元个数可以自行设定）

一、萤火虫算法FA

萤火虫算法(Firefly Algorithm，FA)是Yang等人于2009年提出的一种仿生优化算法。

参考文献：田梦楚, 薄煜明, 陈志敏, et al. 萤火虫算法智能优化粒子滤波[J]. 自动化学报, 2016, 42(001):89-97.

二、RBF神经网络

1988年，Broomhead和Lowc根据生物神经元具有局部响应这一特点，将RBF引入神经网络设计中，产生了RBF(Radical Basis Function)。1989年，Jackson论证了RBF神经网络对非线性连续函数的一致逼近性能。

RBF的基本思想是：用RBF作为隐单元的“基”构成隐藏层空间，隐含层对输入矢量进行变换，将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不可分的问题在高维空间内线性可分。

RBF神经网络结构简单、训练简洁而且学习收敛速度快，能够逼近任意非线性函数，因此已被广泛应用于时间序列分析、模式识别、非线性控制和图形处理等领域。

RBF神经网络学习算法需要优化的参数有3个：基函数的中心、方差以及隐含层到输出层的权值。
基于高斯核的RBF神经网络拓扑结构：
第一层输入层：由信号源节点构成，仅起到数据信息的传递作用，对输入信息不做任何变换

第二层隐含层：节点数视需要而定。隐含层神经元核函数(作用函数)是高斯函数，对输入信息进行空间映射的变换。

第三层输出层，对输入模式做出响应。输出层神经元的作用函数为线性函数，对隐含层神经元输出的信息进行线性加权后输出，作为整个神经网络的输出结果。

三、萤火虫算法FA优化RBF神经网络

萤火虫算法FA中每个个体由基函数的中心、方差以及隐含层到输出层的权值构成，目标函数为样本真实值与预测值的均方误差（MSE）。训练数据集为5个输入，2个输出，共100个样例。构建结构为5-8-2的RBF神经网络，其中隐藏层神经元数目可以修改。
部分样例如下：（前5列为输入，后2列为输出）

0.231275469013250	0.819206722779840	0.845110449594525	0.184086789965809	0.785385668685064	0.273016775596421	-0.525289339305860
0.361541209457843	0.841205431876524	0.980374803793902	0.0859900940578461	0.688836587017380	0.182614021784274	-0.359086617897261
0.922688287491720	0.699812576279511	0.899786340304967	0.432450528880324	0.569301647632306	-0.373191545730696	0.692460134226641
0.299227234437514	0.0816091519448512	0.740899022326946	0.650897340325028	0.209324055396846	0.916657628162626	-0.732727263933928
0.0248021181709812	0.374796074923082	0.570315333727928	0.253772503915307	0.338256777364241	0.999960807859380	0.0177061120929101
0.646658961616975	0.0423161385647169	0.106104935388092	0.212179497735250	0.830057126375891	0.964693196398184	-0.508154508099431
0.808360466940075	0.399056561751923	0.821081939935231	0.663473595114130	0.521205398088936	-0.0715241846059059	0.142682003141748
0.996036904340983	0.177590010319259	0.498978760642987	0.535374820095270	0.273972088775787	0.612832469899295	-0.968536197268834
0.254095375608645	0.123643543287013	0.375547648543273	0.342271860252468	0.636914688527762	0.986958752561837	-0.317748121586226
0.489511345316060	0.858764063567839	0.672506934004802	0.416889604050640	0.875802154076831	-0.171036374456662	0.337032209465389
0.185278746013332	0.114882179349929	0.0249815105218890	0.540278515239829	0.336848910688767	0.932859186232019	0.672108668047313
0.909681828009080	0.102232107111248	0.656246980781499	0.654864043388290	0.956710552046541	-0.137703903094583	0.272784117161094
0.408456363651882	0.938823058283146	0.685665490425611	0.930210090681512	0.623586971563434	-0.430592654242920	0.777259681757975
0.269585875402607	0.271008875302077	0.507953142985896	0.229313997464057	0.344293696020832	0.998681403071495	-0.102537983893846
0.643025332315473	0.468703980190812	0.459677634270965	0.401146013642205	0.967774844146207	0.199908807799238	-0.391747100006622
0.595097567588796	0.309882133224413	0.0578735749039524	0.896085328764512	0.507751211966913	0.699646656853784	-0.999779704342388
0.832789921454823	0.502400345281531	0.225858041623964	0.657301469048430	0.245308474084980	0.627185531149164	-0.976991854507143
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部分代码如下：（完整代码可以私聊博主或添加博主微信）

close all
clear
clc
global inputnum hiddennum outputnum TrainNum 
inputnum=5;%神经网络输入层神经元个数（输入样本维度）
hiddennum=8;%神经网络隐藏层神经元个数（可以自己修改） 
outputnum=2;%神经网络输出层神经元个数（输出样本维度）
TrainNum=100;%训练集数目 
%% 萤火虫算法FA优化RBF神经网络，目标函数是均方误差MSE
SearchAgents_no=50; %  种群大小（可以修改）
Function_name='F1'; 
Max_iteration=50000; % 最大迭代次数（可以修改）
[lb,ub,dim,fobj]=fun_info(Function_name);% 在fun_info.m中可以查看上下限及目标函数
[fMin,bestX,FA_curve]=FA(SearchAgents_no,Max_iteration,lb,ub,dim,fobj);  %FA优化RBF神经网络的参数
save bestX bestX %保留SSA优化RBF神经网络得到的最优参数
%% 画出FA优化RBF神经网络的均方误差随迭代次数的图
figure
semilogy(FA_curve,'Color','g')
title('Objective space')
xlabel('Iteration');
ylabel('MSE');
grid on
box on
legend('FA')
Predata;%预测
%%
display(['The best solution obtained by FA is : ', num2str(bestX)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by FA is : ', num2str(fMin)]);%fMin越小说明FA优化RBF神经网络效果越好

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四、预测结果

在第一个目标上的真实值与预测值：

在第二个目标上的真实值与预测值：

两个目标的真实值与预测值的误差MAE：