电路分析中的函数介绍

电路分析中的函数介绍

单位阶跃函数

单位阶跃函数是一种奇异函数，可以定义为

$\varepsilon(t)=0,t<0;\varepsilon=1,t>0$

值得注意的是单位阶跃函数在零点处是不连续的，它可以用来描述的开关动作

我们进一步引申，定义任一时刻的开关函数

定义任一时刻起始的阶跃函数为 $\varepsilon(t-t_0)=0,t<t_0;\varepsilon(t-t_0)=1,t>t_0$

矩形脉冲可以用两个单位阶跃函数相加表示

我们首先表示电路的激励，

$u_s(t)=U_s \varepsilon(t)-U_s \varepsilon( t- \tau)$

然后我们求RC电路的单位阶跃响应，相当于是零状态的一阶RC电路

我们就可以得到 $s(t)=(1-e^{\frac{t}{\tau}})\varepsilon(t)$

所以表达式可以表示为

$u_c(t)=U_s(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\varepsilon (t)-U_s[1-e^{-\frac{t-\tau}{tau}}]\varepsilon(t - \tau)$

其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟的阶跃响应

冲激响应

单位冲激函数也是一种奇异函数

我们定义为

$\int _{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1;\delta(t)=0,(t \neq 0)$

冲激函数有两个主要的性质

1. $\int_{-\infty}^{t} \delta(\xi)d\xi=\varepsilon(t),\frac{d\varepsilon(t)}{ dt}=\delta (t)$

2.单位冲激函数的筛分性质 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t)dt =f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) dt=f(0)$

我们可以列出微分方程

$0_{-}->0_{+},\frac{u_c}{R}+C\frac{du_c}{dt}=\delta_{i}(t)$ ,而 $u_c(0_{-})=0$

我们在左右两边同时从进行积分，我们可以得到

$\int _{0_-}^{0_+} \frac{u_c}{R} dt+ \int _{0_-}^{0_+} C\frac{du_c}{dt} dt= \int _{0_-}^{0_+} \delta_{i}(t) dt$

我们进行数值分析，我们可以知道不可能是冲激函数

我们可以得到

我们可以得到 $u_c(0_+)=\frac{1}{C}$

当过了0时刻点，电路就变成零输入的RC电路，我们可以得到

$u_c=u_c(0_+)e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{1}{C}e^{-\frac{t}{\tau}}\varepsilon(t)$

下面开始分析零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应就是二阶电路的冲激响应

根据KVL我们可以得到方程
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原文地址：https://blog.csdn.net/m0_52555753/article/details/127781779

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