计算机图形学(一) 向量

向量

表示

1. 通常写为 $\vec{a}$ 或者黑体的 a
2. 或者使用开始和结束的端点表示 $\overrightarrow{AB}$ = B - A
3. 向量既有大小又有方向，标量只有大小没有方向
4. 没有绝对的起始位置(向量的大小和方向与它的位置无关)

向量的归一化(vector normalization)

• 向量的大小表示为 $||\vec{a}||$
• 单位向量
  • 向量的大小为 1
  • 求一个向量的单位向量(向量的归一化): $\hat{a}$ = $\vec{a}$ / $||\vec{a}||$
  • 单位向量的作用：用来表示方向

向量求和

图形学上默认向量是列向量： A = ( x y ) (xy)

(xy​)
转置之后是行向量： $A^T$ = $\left(\begin{array}{c}x,y\end{array}\right)$
向量的模： $||\vec{A}||$ = $\sqrt{x^2+y^2}$

向量点乘(Dot Product)

$\vec{a}\ast \vec{b}$ = $||\vec{a}||$ $||\vec{b}||$$cos\theta$
$cos\theta$ = $\frac{\vec{a}\ast \vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}$
对于单位向量就有：
$cos\theta$ = $\hat{a}\ast \hat{b}$

点乘的属性:

笛卡尔坐标系下的点乘运算

点乘在图形学中的作用

1. 计算两个向量的夹角（比如光源和平面的夹角的 $cos$ 值）
2. 计算一个向量到另一个向量的投影，如下图:
   
3. 计算两个向量（方向）有多接近（计算出两个向量的$cos$值）
4. 分解一个向量为两个相互垂直的向量（利用平行四边形法则）
5. 
6. 判定向量是向前的还是向后的
   

   向量的叉乘

   1. 两个向量叉乘的结果是垂直于这两个向量的一个新的向量
   2. 新向量的方向由右手定则确定
   3. 通常用于建立一个坐标系系统
      

叉乘的属性

叉乘的作用

1. 判定左和右
2. 判定内和外
   
   使用 $\vec{a}$ 叉乘 $\vec{b}$，得到的 Z 是正的，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧，Z 是负的，表示 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的右侧(使用右手螺旋定则)
   
   $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ 依次叉乘 $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{CP}$, 得到的垂直于两个向量的向量都是正的，则都依次位于三个向量的左边，则代表在三角形内部。有一个不位于左边则表明在三角形的外部。

点乘与叉乘的联系

实际应用中，可以使用叉乘建立一个直角坐标系，之后就可以将一个任意一个向量分解到坐标系的三个轴上。分解的方法就是使用投影，而计算投影的方法是使用点乘

矩阵

矩阵的乘法

矩阵的属性

1. 不存在任何交换律，AB 不等于 BA
2. 结合律和分配律
   • (AB)C = A(BC)
   • A(B + C) = AB + AC
   • (A + B)C = AC + BC

矩阵与向量乘作用

将一个向量当作一个 mx1 的矩阵(列向量)
矩阵在做，向量在右，
变换的核心
比如：将一个点做按 Y 轴对称操作：
( − 1 0 0 1 ) (−1001)

(−10​01​) $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)$

矩阵的转置

矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换，比如
( 1 2 3 4 5 6 ) T (123456)

^T ⎝⎛​135​246​⎠⎞​T = $\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$

转置的性质

$(AB{)}^T$ = $B^T{A}^T$

单位矩阵和逆矩阵

1. 对角线方向上(左上到右下)都为 1，其他全为 0，就是单位矩阵
   $I_{3\ast 3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
2. 对一个 n 阶方阵 A ，如果存在另一个 n 阶方阵 B，它们满足：AB = BA = I（其中 I 为单位矩阵），那么两矩阵互为逆矩阵。换句话说，A 的逆矩阵为 B ，B 的逆矩阵为 A, 记为 $A^{-1}$
3. 逆矩阵是唯一的

性质

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

正交矩阵

矩阵 $A$ 的逆等于矩阵 $A^{-1}$ 的转置矩阵 $A^T$, 那么矩阵 $A$ 就是一个正交矩阵

矩阵形式的向量的乘积