互补格雷码+相移码实现物体三维重建，整个重建过程可以分为6个步骤：
🚀Github项目已建立，项目中提供了实验数据，供大家学习，欢迎大家star⭐️收藏！🚀
求解绝对相位的具体原理和代码可以参考(超详细)互补格雷码+相移码求解包裹相位（Python实现），下面的内容主要介绍获得绝对相位后如何计算三维坐标点，重在理论推导。
获得绝对相位后，就可以建立相机-投影仪像素坐标之间的对应关系，假设相机像素坐标为 ( u c , v c ) (u_{c},v_{c}) (uc,vc)，投影仪像素坐标为 ( u p , v p ) (u_{p},v_{p}) (up,vp)，相移码一个周期所占的像素个数为 T T T，那么通过相位关系可以得到如下关系式：
Φ ( u p , v p ) = Φ ( u c , v c ) \Phi(u_{p},v_{p})=\Phi(u_{c},v_{c}) Φ(up,vp)=Φ(uc,vc)
Φ ( u p , v p ) = 2 π u p T \Phi(u_{p},v_{p})=\frac{2\pi u_{p}}{T} Φ(up,vp)=T2πup
可以得到如下关系式：
u p = Φ ( u p , v p ) ∗ T 2 π = Φ ( u c , v c ) ∗ T 2 π u_{p}=\frac{\Phi(u_{p},v_{p}) \ast T}{2\pi}=\frac{\Phi(u_{c},v_{c}) \ast T}{2\pi} up=2πΦ(up,vp)∗T=2πΦ(uc,vc)∗T
根据相机模型：
[
u
c
v
c
1
]
=
[
f
c
x
0
u
c
0
0
0
f
c
y
v
c
0
0
0
0
1
0
]
1
Z
c
[
R
w
→
c
t
w
→
c
0
1
]
[
X
w
Y
w
Z
w
1
]
=
[
f
c
x
0
u
c
0
0
f
c
y
v
c
0
0
0
1
]
[
X
c
/
Z
c
Y
c
/
Z
c
1
]
=
[
f
c
x
0
u
c
0
0
f
c
y
v
c
0
0
0
1
]
[
x
c
y
c
1
]
[ucvc1]=[fcx0uc000fcyvc000010]1Zc[Rw→ctw→c01][XwYwZw1]=[fcx0uc00fcyvc0001][Xc/ZcYc/Zc1]=[fcx0uc00fcyvc0001][xcyc1]
可以得到：
{
X
c
=
x
c
∗
Z
c
Y
c
=
y
c
∗
Z
c
Z
c
=
Z
c
\left\{Xc=xc∗ZcYc=yc∗ZcZc=Zc
由相机内参数可得
{
u
c
=
f
c
x
∗
x
c
+
u
c
0
v
c
=
f
c
y
∗
y
c
+
v
c
0
⇒
{
x
c
=
(
u
c
−
u
c
0
)
/
f
c
x
y
c
=
(
v
c
−
v
c
0
)
/
f
c
y
\left\{uc=fcx∗xc+uc0vc=fcy∗yc+vc0
投影仪可以看作逆相机，因此投影仪模型与相机模型相同，同理可得：
{
X
p
=
x
p
∗
Z
p
Y
p
=
y
p
∗
Z
p
Z
p
=
Z
p
\left\{Xp=xp∗ZpYp=yp∗ZpZp=Zp
{
u
p
=
f
p
x
∗
x
p
+
u
p
0
v
p
=
f
p
y
∗
y
p
+
v
p
0
⇒
{
x
p
=
(
u
p
−
u
p
0
)
/
f
p
x
y
p
=
∗
(
v
p
−
v
p
0
)
/
f
p
y
\left\{up=fpx∗xp+up0vp=fpy∗yp+vp0
设相机投影仪系统的外参数为
R
c
→
p
=
[
r
11
r
12
r
13
r
21
r
22
r
23
r
31
r
32
r
33
]
、
t
c
→
p
=
[
t
x
t
y
t
z
]
R_{c \rightarrow p}=[r11r12r13r21r22r23r31r32r33]
由下面式子，
[
X
p
Y
p
Z
p
]
=
R
c
→
p
[
X
c
Y
c
Z
c
]
+
t
c
→
p
[XpYpZp]
展开得：
{
X
p
=
r
11
X
c
+
r
12
Y
c
+
r
13
Z
c
+
t
x
=
(
r
11
x
c
+
r
12
y
c
+
r
13
)
Z
c
+
t
x
Y
p
=
r
21
X
c
+
r
22
Y
c
+
r
23
Z
c
+
t
y
=
(
r
21
x
c
+
r
22
y
c
+
r
23
)
Z
c
+
t
y
Z
p
=
r
31
X
c
+
r
32
Y
c
+
r
33
Z
c
+
t
z
=
(
r
31
x
c
+
r
32
y
c
+
r
33
)
Z
c
+
t
z
\left\{Xp=r11Xc+r12Yc+r13Zc+tx=(r11xc+r12yc+r13)Zc+txYp=r21Xc+r22Yc+r23Zc+ty=(r21xc+r22yc+r23)Zc+tyZp=r31Xc+r32Yc+r33Zc+tz=(r31xc+r32yc+r33)Zc+tz
又由相机投影仪像素坐标得关系有：
{
u
p
=
f
p
x
∗
x
p
+
u
p
0
u
p
=
Φ
(
u
c
,
v
c
)
∗
T
2
π
⇒
f
p
x
∗
x
p
+
u
p
0
=
Φ
(
u
c
,
v
c
)
∗
T
2
π
\left\{up=fpx∗xp+up0up=Φ(uc,vc)∗T2π
最终得到连联立方程组：
{
x
p
∗
Z
p
=
(
r
11
x
c
+
r
12
y
c
+
r
13
)
Z
c
+
t
x
Z
p
=
(
r
31
x
c
+
r
32
y
c
+
r
33
)
Z
c
+
t
z
f
p
x
∗
x
p
+
u
p
0
=
Φ
(
u
c
,
v
c
)
∗
T
2
π
\left\{xp∗Zp=(r11xc+r12yc+r13)Zc+txZp=(r31xc+r32yc+r33)Zc+tzfpx∗xp+up0=Φ(uc,vc)∗T2π
解得：
Z c = x p t z − t x J x − J z x p Z_{c} = \frac{x_{p}t_{z}-t_{x}}{J_{x}-J_{z}x_{p}} Zc=Jx−Jzxpxptz−tx
J x = ( r 11 x c + r 12 y c + r 13 ) J_{x} = (r_{11}x_{c} + r_{12}y_{c} + r_{13}) Jx=(r11xc+r12yc+r13)；
J z = ( r 31 x c + r 32 y c + r 33 ) J_{z} = (r_{31}x_{c} + r_{32}y_{c} + r_{33}) Jz=(r31xc+r32yc+r33)；
x p = ( Φ ( u c , v c ) ∗ T 2 π − u p 0 ) / f p x x_{p} = (\frac{\Phi(u_{c},v_{c}) \ast T}{2\pi} - u_{p0})/f_{px} xp=(2πΦ(uc,vc)∗T−up0)/fpx。
相机坐标系下的得三维坐标点为：
{
X
c
=
x
c
∗
Z
c
Y
c
=
y
c
∗
Z
c
Z
c
=
x
p
t
z
−
t
x
J
x
−
J
z
x
p
\left\{Xc=xc∗ZcYc=yc∗ZcZc=xptz−txJx−Jzxp