高等工程数学 —— 第五章 （4）罚函数法

高等工程数学 —— 第五章 （4）罚函数法

外点罚函数法

做题时就是构造一个$\sigma P$然后计算两种情况的一阶必要条件未知量的值，若符合不等式约束就对其进行二阶必要条件验证。若成立就对$\sigma$取无穷大然后得到最优解。

例：

• 这里求解$x(\sigma )$时对于$x_1+x_2\le 4$这种情况解得 $x_1=3$,$x_2=2$。此时发现不满足$x_1+x_2\le 4$条件。
• 因此我们对于$x_1+x_2\ge 4$这种情况求解。

• 对其进行二阶充分条件的验证

• 对$\sigma$取无穷大可得可行点与最优值。

内点罚函数法

只适用于只有不等式约束的非线性最优化问题。

选取障碍函数构建罚函数，然后用一阶必要条件来求解可行点的值，再用二阶充分条件来验证。最后我们对$\mu$趋近于0来得到最后的结果。

例1：

• 此处我们可以解出$x_1=\sqrt{\mu +1},x_2=\mu$

• 用二阶充分条件验证后将$\mu$取0求解。

例2：

例3：

广义乘子法

这个好像用的比较少一点，但是老师说不排除不考，简单应用还是要会的。

等式约束问题

记住上述两个公式会做题就行了。

例：

这里得到$v^{(k)}$的步骤如下：

• 有一个简单的方法，我们可以令$v^{(k+1)}=v^{(k)}$来求解这个递增的上界。即$v^{(k)}=\frac{1}{6}{v}^{(k)}+\frac{1}{3}$

不等式约束问题

看例题吧，希望不考：

• 这里$v^{(k)}\to 2$也是令$v^{(k+1)}=v^{(k)}$后求解$v^{(k)}=\frac{2(v^{(k)}+\sigma )}{2+\sigma }$得到的。

例：