C++ 不知图系列之基于邻接矩阵实现广度、深度搜索

1. 前言

图是一种抽象数据结构，本质和树结构是一样的。

图与树相比较，图具有封闭性，可以把树结构看成是图结构的基础部件。在树结构中，如果把兄弟节点之间或子节点之间横向连接，便构建成一个图。

树适合描述从上向下的一对多的数据结构，如公司的组织结构。

图适合描述更复杂的多对多数据结构，如群体社交关系、城市交通路线……

本文将讨论以邻接矩阵方式存储图，并在此基础之上对图进行深度、广度搜索。

2. 图论

借助计算机解决现实世界中的问题时，除了要存储现实世界中的信息，还需要正确地描述信息之间的关系。

如在开发地图程序时，除了要存储城市、街道……等实体信息，还需要在计算机中描述出城市与城市或城市中各街道之间的连接信息。

在此基础上，才有可能通过算法计算出从一个城市到另一个城市、或从指定起点到目标点间的最佳路径。

Tips：类似的还有航班路线图、火车线路图、社交关系图……

图结构能很好地对现实世界中如上这些信息以及信息之间的复杂关系进行映射。以此可使用算法方便的计算出如航班线路中的最短路径、如火车线路中的最佳中转方案，如社交圈中谁与谁关系最好、婚姻网中谁与谁最般配……

2.1 图的概念

顶点： 顶点也称为节点，顶点本身是有数据含义的，都会带有附加信息，称作"有效载荷"。图中的所有顶点构建成一个顶点集合。是图的组成部分。

Tips： 顶点可以是现实世界中的城市、地名、站名、人……

边： 图中的边用来描述顶点之间的关系，图中所有边构建成一个边的集合，所以说，图包括了顶点集合和边集合，两者缺一不可。

边可以有方向也可以没有方向，有方向的边又可分为单向边和双向边。

如下图（顶点1）到（顶点2）之间的边只有一方向（箭头所示为方向），称为单向边。类似现实世界中的单向道。（顶点1）到（顶点3）之间的边有两个方向（双向箭头），称为双向边。 城市与城市之间的关系为双向边。

权重： 边上可以附加值信息，附加的值称为权重。有权重的边用来描述一个顶点到另一个顶点的连接强度。

如现实生活中的地铁路线中，权重可以描述两个车站之间时间长度、公里数、票价……

Tips： 边描述的是顶点之间的关系，权重描述的是连接的差异性。

路径：

先了解现实世界中路径概念

如：从一个城市开车去另一个城市，就需要先确定好路径。也就是 从出发地到目的地要经过哪些城市？要走多少里程？

可以说路径是由边连接的顶点组成的序列。因路径不只一条，所以，从一个项点到另一个项点的路径描述也不只一种。

在图结构中如何计算路径？

• 无权重路径的长度是路径上的边数。

• 有权重路径的长度是路径上的边的权重之和。如上图从（顶点1）到（顶点3）的路径长度为 8。

环： 从起点出发，最后又回到起点（终点也是起点）就会形成一个环，环是一种特殊的路径。如上图中的 (V1, V2, V3, V1) 就是一个环。

图的类型：

综上所述，图可以分为如下几类：

• 有向图： 边有方向的图称为有向图。
• 无向图： 边没有方向的图称为无向图。
• 加权图： 边上面有权重信息的图称为加权图。
• 无环图： 没有环的图被称为无环图。
• 有向无环图： 没有环的有向图，简称 DAG。

2.2 定义图

根据图的特性，图数据结构中至少要包含两类信息：

• 所有的顶点构成一类集合信息，这里用 V 表示（如地图程序中，所有城市构在顶点集合）。

• 所有的边构成一类集合信息，这里用 E 表示（城市与城市之间的关系描述）。

  如何描述边？

  边用来表示项点之间的关系。所以一条边可以包括 3 个元数据（起点，终点，权重）。当然，权重是可以省略的，但一般研究图时，都是指的加权图。

如果用 G 表示图，则 G = (V, E)。每一条边可以用二元组 (fv, ev) 也可以使用 三元组 （fv,ev,w） 描述。

fv 表示起点，ev 表示终点。且 fv，ev 数据必须引用于 V 集合。

如上的图结构可以描述如下：

# 5 个顶点
V={A0,B1,C2,D3,E4}
# 7 条边
E={ (A0,B1,3),(B1,C2,4),(C2,D3,6),(C2,E4,1),(D3,E4,2),(A0,D3,5),(E4,B1,7)}
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2.3 图的抽象数据结构

图的抽象数据描述中至少要有的方法：

• Graph ( ) ： 用来创建一个新图。

• addertex( vert )：向图中添加一个新节点，参数应该是一个节点类型的对象。

• addEdge(fv，tv )：在 2 个项点之间建立起边关系。

• addEdge(fv，tv，w )：在 2 个项点之间建立起一条边并指定连接权重。

• findVertex( key ) : 根据关键字 key 在图中查找顶点。

• findVertexs( )：查询所有顶点信息。

• findPath( fv,tv)：查找从一个顶点到另一个顶点之间的路径。

• ……

3. 图的存储

图的存储实现主流有 2 种：邻接矩阵和链接表，本文主要介绍邻接矩阵。

3.1 邻接矩阵实现思路

使用一维数组存储顶点的信息。

使用二维矩阵（数组）存储顶点之间的关系。

如 graph[5][5] 可以存储 5 个顶点的关系数据，行号和列号表示顶点，第 v 行的第 w 列交叉的单元格中的值表示从顶点 v 到顶点 w 的边的权重，如 grap[2][3]=6 表示 C2 顶点和 D3 顶点的有连接（相邻），权重为 6。

邻接矩阵存储的优点就是简单，可以清晰表示那些顶点是相连的。因不是每两两个顶点之间会有连接，会导致大量的空间闲置，称这种矩阵为”稀疏“的。

只有当每一个顶点和其它顶点都有关系时，矩阵才会填满。所以，使用这种结构存储图数据，对于关系不是很复杂的图结构而言，会产生大量的空间浪费。可以使用稀疏矩阵压缩算法减少存储空间，代价是会增加逻辑关系。

邻接矩阵适合表示关系复杂的图结构，如互联网上网页之间的链接、社交圈中人与人之间的社会关系……

3.2 编码实现邻接矩阵

3.2.1 基本函数

因顶点本身有数据含义，需要先定义顶点类型。

顶点类：

template 
struct Vertex {
	//顶点的编号
	int verId;
	//顶点的值
	T value;
	//是否被访问过
	bool isVisited;
    //前驱结点编号 
    int preVertexId;
	//无参构造
	Vertex() {
		this->isVisited=false;
        this->preVertexId=0;
	}
	Vertex(int vid) {
		this->verId=vid;
		this->isVisited=false;
        this->preVertexId=0;
	}
	//有参构造
	Vertex(int verId,T value) {
		this->verId=verId;
		this->value=value;
		this->isVisited=false;
        this->preVertexId=0;
	}
	//自我显示
	void desc() {
		cout<<"顶点编号："<verId<<",结点的值："<value<<"\t";
	}
};
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顶点类中 verId 和 value 很好理解。为什么要添加一个 isVisited？

这个变量将用来搜索算法中，用来记录顶点在路径搜索过程中是否已经被搜索过，避免重复搜索计算。

图类： 提供对图的常规维护函数。

#define MAX 11
template 
class Graph {
	private:
		//一维数组，存储所有结点,为了方便操作，0 位置不存储数据
		Vertex verts[MAX];
		//二维数组，用来存储结点之间的关系，行号和列号为 0 位置不存储信息
		int matrix[MAX][MAX];
		//结点编号，从 1 开始
		int num=1;
	public:
		//无参构造，初始化
		Graph() {
			//初始化矩阵的值为 0
			for(int row=0; row  addVertex(T value);
		//添加边
		void addEdge(T from,T to);
		//添加有权重的边
		void addEdge(T from,T to,int weight);
		//根据结点的编号查找
		Vertex findVertex(int id);
		//根据结点的值查找
		Vertex findVertex(T value);
		//查询所有结点
		void findAllVertex();
};
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3.2.2 实现查询

查询结点可以有 2 种方案：

• 按结点的值进行查找。这里使用线性查找算法。

/*
* 根据值查找结点（线性查找算法）
*/
template 
Vertex Graph::findVertex(T value) {
	for(int i=1; i ver= Graph::verts[i];
		if(ver.value==value)
			return ver ;
	}
	return {0};
}
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• 按结点的编号进行查找。

//根据结点的编号查找结点
template 
Vertex Graph::findVertex(int id) {
	if(id>=MAX) {
		return {0};
	}
	return Graph::verts[id];
}
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3.2.3 添加结点

添加结点时，结点的编号由内部生成，目的是保持编号的连续性。

/*
*添加新结点，并且返回此结点
*/
template 
Vertex  Graph::addVertex(T value) {
	//检查结点是否存在
	Vertex ver= Graph::findVertex(value);
	if(ver.verId==0) {
		//创建新结点,结点编号由内部指定
		ver.verId=Graph::num;
		ver.value=value;
		//存储
		Graph::verts[Graph::num] =ver;
		Graph::num++;
	}
	return ver;
}
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3.2.4 添加结点之间的边

无权重图中，结点与结点之间的边信息用 1 表示。有权重图中，结点与结点之间的边信息使用权重表示。

无权重边的添加：

/*
* 添加顶点与顶点之间的关系
* 无向图
*/
template 
void Graph::addEdge(T from,T to) {
	//检查结点是否存在
	Vertex fromVer=Graph::findVertex(from);
	Vertex toVer=Graph::findVertex(to);
	if(fromVer.verId==0) {
		//不存在，创建此结点
		fromVer=Graph::addVertex(from);
	}
	if(toVer.verId==0)
		toVer=Graph::addVertex(to);
	//无向图中，可以单向描述，也可以双向描述
	Graph::matrix[fromVer.verId][toVer.verId]=1;
	//双向描述
	Graph::matrix[toVer.verId][fromVer.verId]=1;
}
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有权重边的添加：

/*
*添加顶点与顶点之间的关系
*有向加权图
*/
template 
void Graph::addEdge(T from,T to,int weight) {
	//检查结点是否存在
	Vertex fromVer=Graph::findVertex(from);
	Vertex toVer=Graph::findVertex(to);
	if(fromVer.verId==0) {
		//不存在，创建此结点
		fromVer=Graph::addVertex(from);
	}
	if(toVer.verId==0)
		toVer=Graph::addVertex(to);
	//有向加权图
	Graph::matrix[fromVer.verId][toVer.verId]=weight;
}
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3.2.3 查询所有结点

遍历图时，除了显示结点自身信息，同时显示与结点有关的边的信息。

//查询所有结点
template 
void Graph::findAllVertex() {
	for(int i=1; i::num; i++) {
		Vertex ver= Graph::verts[i];
		ver.desc();
		cout< ver_= Graph::findVertex(col);
				cout<<"\t";
				ver_.desc();
				cout<<"权重："<

int main(int argc, char** argv) {
	//创建图实例
	Graph graph;
	//添加 A（编号1），B（编号2），C（编号3），D（编号4），E （编号5）  5个结点
	char verInfos[5]= {'A','B','C','D','E'};
	for(int i=1; i<=5; i++) {
		graph.addVertex(verInfos[i-1]);
	}
	cout<<"图中的结点"<