信号与线性系统分析（吴大正，郭宝龙）（2-冲激函数）

前言

我发现，信号与系统中有一些东西真的是反复会在别的工科专业中用到，所以在这里记录一下，虽然有视频，但是视频毕竟比较长，想要快速回顾，需要从头看视频，所以这里记录一下比较关键的东西。

视频地址：信号与线性系统分析（吴大正，郭宝龙）。

广义函数

很简单，普通函数是将一个数值映射到另外一个数值；而广义函数是将一个函数映射成一个数值。

冲激函数的广义函数定义

对于任意$\varphi (t)$，如果$\delta (t)$满足如下式子，那么$\delta (t)$称之为冲激函数。这就是冲激函数的广义函数定义。

满足上述要求的$\delta (t)$其实有很多，都叫做冲激函数，例如：

我们可以回顾一下上一篇文章中提到的冲激函数的满足的性质，即积分为1。我们检查一下高斯函数，那个其实就是一个均值为0，方差取向于0的概率密度，而概率密度积分恒为1，不管方差是否逼近0，逼近的话就满足了另外一个性质，0点函数值为无穷大，其他地方没有值。

然后第二个取样函数，这个我就没办法验证了哈，比如我想验证其积分是否为1，然而我水平有限，$sint/t$没有办法积分。

这个函数是不可积的，但是它的原函数是存在的，只是不能用初等函数表示而已。习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。虽然其属于“积不出”的函数，但是这个积分在概率论，数论，光学，傅里叶分析等领域起着重要作用。

但是，对于0处无穷大，我们可以有直观的理解，在0处$sint$和$t$为等价无穷小，从而是$b/\pi$，由于$b$为无穷大，所以0处无穷大。
其图大概如下：

冲激函数的取样性质

这个很好理解，冲激函数除了0值均为0，在0值为无穷大。一个争论的点其实是既然在0处为无穷大，那么乘以$f(0)$这个常数还有什么意思。

这里说两点理由。

1. 无穷大也分正负，万一$f(0)$是负数呢，那么乘之后就是负无穷大，而不是原来的正无穷大，有意义。
2. 你可以试一下，只有利用上述式子，然后带入那个冲激函数的广义函数定义，才会得到正确的结果。

即将上面这个式子带入下面这个式子的左边，然后我们会发现，等于右边。反之，不等于，即违反了冲激函数的定义。

下面又是一个类似的变形。

冲激函数的导数

之前我们学过，阶跃函数的导数是冲激函数，那么冲激函数的导数呢？

我们仍然采用广义函数的定义，对于任意函数$f(t)$，冲激函数的导数满足下列式子。

我们可以做一个简单的验证，对上面有一个比较理性的认识：

我们把上面这个式子带入到那个之前那个积分里面，然后你去积一下分，发现确实等于积分式子的右边。

然后下面又是一些推广：
平移：

冲激函数的n阶导数：

这个式子，大家可以使用使用分部积分来积分一下左边，这里说一下第一步，即将n阶导移到d后面去，。。。

冲激函数的尺度变化

下面又是一个推广：

证法？还是和之前的分部积分一样。

以为结束啦？还有推广：

(1)很好理解，至于(2)的话，就是$a=-1$代入上张图片。