代码随想录48——动态规划：198打家劫舍、213打家劫舍II、337打家劫舍III

1.198打家劫舍

参考：代码随想录，198打家劫舍；力扣题目链接

1.1.题目

1.2.解答

打家劫舍是dp解决的经典问题，动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

2.确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

• 如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

• 如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑 i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3.dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

代码如下：

vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
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4.确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

代码如下：

for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
    dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}
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5.举例推导dp数组

以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。

int rob(vector<int> &nums)
{
    // 1.一些特殊情况，可以直接判断出结果
    if(nums.empty())
        return 0;
    if(nums.size() == 1)
        return nums[0];

    // 2.运行到这里，说明nums中至少有两个数，则建立dp数组并初始化
    vector<int> dp(nums.size());
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

    // 3.遍历dp数组，使用递推公式填满dp数组
    for(int i = 2; i < nums.size(); i++)
    {
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]);
    }

    // 4.最后一个位置就是考虑所有的房间，得到的最大的打劫价值
    return dp.back();
}
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注意：今天的题目就不是背包问题了，就是普通的动态规划问题，可以看出来非常简单。

2.213打家劫舍II

参考：代码随想录，213打家劫舍II；力扣题目链接

2.1.题目

2.2.解答

这道题目和198.打家劫舍是差不多的，唯一区别就是成环了。

对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：

• 情况一：考虑不包含首尾元素
  

• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
  

• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
  

注意这里用的是**“考虑”，**例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍就是一样的了。

代码如下：

class Solution
{
private:
    // [start, end]
    int robRange(vector<int> &nums, int start, int end)
    {
        // 1.只有一个元素，直接返回元素值
        if(start == end)
            return nums[start];
      
        // 2.运行到这里，说明nums中至少有两个数，则建立dp数组并初始化
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[start] = nums[start];
        dp[start+1] = max(nums[start], nums[start+1]);

        // 3.遍历dp数组，使用递推公式填满dp数组
        for(int i = start+2; i <= end; i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]);
        }

        // 4.最后一个位置就是考虑所有的房间，得到的最大的打劫价值
        return dp[end];
    }
    
public:
    int rob(vector<int>& nums)
    {
        // 1.判断特殊条件，直接返回结果
        if(nums.empty())
            return 0;
        if(nums.size() == 1)
            return nums[0];
        
        // 2.开始分两种情况打劫
        int res1 = robRange(nums, 0, nums.size()-2);
        int res2 = robRange(nums, 1, nums.size()-1);
        
        // 3.返回结果
        return max(res1, res2);
    }
};
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注意：这里好像是那么回事，但是又不是特别理解。。。

3.337打家劫舍III

参考：代码随想录，337打家劫舍III；力扣题目链接

3.1.题目

3.2.解答

3.2.1.题目分析

这道题目和 198.打家劫舍，213.打家劫舍II 也是如出一辙，只不过这个换成了树。

如果对树的遍历不够熟悉的话，那本题就有难度了。

对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。

本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）

3.2.2.动态规划求解

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

1.确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点，代码如下：

vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
1

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？

别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。

2.确定终止条件

在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
1

这也相当于dp数组的初始化

3.确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

• 通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

• 通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下：

// 下标0：不偷，下标1：偷
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
// 中
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4.确定单层递归的逻辑

• 如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就在回顾一下dp数组的含义）

• 如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下：

vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右

// 偷cur
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
// 不偷cur
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
return {val2, val1};
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5.举例推导dp数组

以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。

最后给出本题的代码如下，其实还是比较简单的。

class Solution
{
private:
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left;
        TreeNode *right;
    };

    // 递归偷取二叉树的每一个节点，返回值 <不偷的最大价值，偷的最大价值>
    vector<int> robTree(TreeNode *root)
    {
        // 2.递归终止条件：遇到叶子节点，则不管偷不偷结果都是0
        if (root == nullptr)
            return {0, 0};

        // 3.开始递归：左右中，后序遍历
        vector<int> left = robTree(root->left);   // 偷左子树的结果
        vector<int> right = robTree(root->right); // 偷右子树的结果
        // 不偷当前节点，则可以偷左右子树，从左右子树中寻找最大值并相加
        int val1 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
        // 偷当前节点，则左右子树都不能偷了
        int val2 = root->val + left[0] + right[0];

        // 返回最终结果：<不偷当前节点的最大价值， 偷当前节点的最大价值>
        return {val1, val2};
    }

public:
    int rob(TreeNode *root)
    {
        vector<int> res = robTree(root);
        return max(res[0], res[1]);   // 最终结果就是偷不偷根节点的最大价值
    }
};
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注意：这道题目非常有意思，把二叉树的递归和动态规划结合到一起了，其中动态规划前面的dp数组的值就是通过递归过程中的回溯把结果传给后面的dp数组的，非常有意思！