0110闭区间上连续函数的性质-函数与极限-高等数学

闭区间连续：如何函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续，在点$a$右连续，在点$b$左连续，那么函数$f(x)$就是在闭区间$[a,b]$上连续的。

1 有界性与最大值最小值定理

• 最大值和最小值概念

对于在区间$I$上有定义的函数$f(x)$，如果有$x_0\in I$,使得对于$\forall x\in I$都有

$f(x)\le f(x_0)(f(x)\ge f(x_0))$,

那么称$f(x_0)$是函数$f(x)$在区间$I$的最大值(最小值)。

• 定理1：有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值。

• 注
  • 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$\exists M>0$,使得$\forall x\in [a,b]$,有$|f(x)|\le M$;$\exists {\xi }_1\in [a,b]$,使得$f({\xi }_1)$是函数$f(x)在[a,b]$的最大值；$\exists {\xi }_2\in [a,b]$,使得$f({\xi }_2)$是函数$f(x)在[a,b]$的最小值；
  • 上面提到的$M,{\xi }_1,{\xi }_2$是最少有1个，可能有多个。
  • 连续和闭区间缺一不可。

例1：函数$f(x)=x^2,x\in [0,1)$ 函数在区间$[0,1)$有界有最小值，但是没有最大值，如下图1-1所示

例2：函数
f ( x ) = { − x + 1 , 0 ≤ x ≤ 1 , 1 , x = 1 , − x + 3 , 1 < x ≤ 2 f(x)=

f(x)=⎩ ⎨ ⎧​−x+1,0≤x≤1,1,x=1,−x+3,1<x≤2​
函数f(x)在闭区间$[0,2]$上不连续，则函数f(x)在闭区间$[0,2]$上有界但是没有最大值和最小值，如下图1-2所示

2 零点定理与介质定理

• 零点

如果$x_0$使得$f(x_0)=0$那么$x_0$称为函数$f(x)$的零点。

• 定理2：零点定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)与f(b)$异号（即$f(a)\cdot f(b)<0$），则在开区间$(a,b)$上至少有一点$\xi$使得

$f(\xi )=0$

• 定理3：介值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

$f(a)=A,f(b)=B$

则对于$A与B$之间的任意一个数$C$,在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得

$f(\xi )=C(a<\xi <b)$

证明：
$$\begin{gathered} 令\varphi (x)=f(x)-C那么 \\ \varphi (a)=A-C,\varphi (b)=B-C \\ 因为A<C<B所以\varphi (a)与\varphi (b)异号， \\ 根据零点定理有\exists \xi \in (a,b)，使得\varphi (\xi )=0，即 \\ f(\xi )=C \end{gathered}$$

• 推论

在闭区间$[a,b]$上连续的函数$f(x)$的值域为闭区间$[m,M]$，其中$m与M$依次为$f(x)在[a,b]$上的最小值和最大值。

• 注
  • 关于本节连续性的定理应用，很多时候需要我们自己去构造函数，来满足定理所需的条件。

3 后记

❓QQ:806797785

⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math

参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P66~p70.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p10.