【数学模拟卷总结】2023李林六套卷数学二第三套

写这个系列是为了逼自己总结，这套写的头疼，丢分主要丢在了线性代数和计算失误

题目复盘

1. 按答案那样换元之后将$F(x)$与$x^n$做比较，即做极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^n}$，然后用两次洛必达得到$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{n(n-1)x^{n-2}}$，然后看题给极限，能估出题给极限中$f(x)$是一阶（用泰勒把$e^x$展开），然后$n-2=1$即$n=3$
2. 看一看无定义点，分母为0之类的点，求一下左右极限对比一下就算出来了
3. 把参数$a$分离到一边就求出来了
4. 解的线性组合的系数和为0就是齐次方程通解，只有D选项的线性组合系数和为0，其他选项比如A选项，两个任意常数，并不能保证系数组合的系数和一定为0，万一还有其他情况呢。
5. 去年李六的原题，套一下无穷等比求和公式就行。
6. **答案说取特例或者严格证明，我有另一种方法：
   
   第二个不等式的证明方法和答案一样，这个题目蛮好的，记录一下
   
7. 求一阶偏导数发现有$sinx=0$这样的方程，然后就把无穷多个驻点分为$2k\pi$和$(2k+1)\pi$进行讨论就得出结果了。
8. **这题我在模拟考试的时候举的特例，现在重新严格做一下：
   
   做这个题有一个经典的结论我忘记了，A的每一行元素的和为某个数，则这个数为该矩阵的特征值，现在给出证明：
   【*】有$n$阶方阵$\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$且$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\lambda (i=1,2,\cdots ,n)$，证明：$\lambda$是方阵$\mathbf{A}$的特征值，$\alpha =(1,1,...,1{)}^T$是方阵$\mathbf{A}$的属于特征值$\lambda$的特征向量。
   【证明】
   
   还要用到这个结论：$r\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)=\{\begin{array}{ll}n,& r(\mathbf{A})=n,\\ 1,& r(\mathbf{A})=n-1,\\ 0,& r(\mathbf{A})<n-1\end{array}$
   
   选（D）
9. ***这题我做错了，这题取$c=0$然后排除（B）和（C）选项，最后还是没想通，后来经过复盘发现，这个知识点是初等列变换不改变矩阵的秩，重新复盘如下：
   
   
10. 配方法做一下就行，我在考场上做的麻烦，还求了逆矩阵，实际没必要，直接就能反解那个方程组，又快又准。
11. ***这题我算错了，题给隐函数形式没有不可导点，其一阶导的隐函数形式也没有不可导点，一阶连续可导，可以洛必达，然后再用一次导数定义（这样比较稳妥，实际上这个隐函数二阶连续可导，可以再洛必达一次），模考的时候算错了，重新复盘如下：
    

12. ***这题我做错了，这题我大意了，它只说它有一阶连续偏导数，没说二阶可导，二阶导数要用定义做，我直接去求了二阶偏导数，形式太复杂了，实际上就算说了二阶连续可导但是偏导数形式复杂也别直接求，应该用定义做，而且$x$和$y$还有对称性，遇到这种题我以后要注意，重新复盘如下：
    

13. 令一阶偏导数为0，解出两个驻点，分别用充分条件判断一下就做出来了，就是别忘了驻点还有$(0,0)$即可

14. ***这题我马虎了，没看到题目说的$x\ge 0$，直接按全部定义域做了，重新复盘如下：
    这个题如果知道这个积分公式将会很快计算完毕：$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(0\le |x|<a)$
    

15. 画个示意图就出来了，需要记住的是静水压力$F=\rho ghA$，其中$A$为横截面积微元。

16. 这个题要用到这个结论：
    

知道这个结论后，逆矩阵和原矩阵特征向量一直，直接就把题给条件视为原矩阵的特征向量，按特征值和特征向量定义列等式就求出来了。

17. ***这题我做错了，题目是连乘的极限，立刻取对数改成求和走定积分定义，但是这个是魔改的定积分定义，我算错了，重新复盘如下：

18. ***这题我做错了，定常数C居然可以带回那个题给的方程然后再求一次积分，我就定出C大于0，不知道算不算对，也算错了吧，重新复盘如下：
    
    这是模考时没求C的过程：
    补上求C的过程：
    
19. **这题我算错数了，算错的地方是最后的加法，小学加减法算错数了，算的太着急了，这个题没必要复盘了。
20. 转成极坐标后再换序比较方便。
21. ***这题第二问没做上，第二问实在没有思路，重新复盘如下:
    
    

照着答案写的，有笔误，F就是G，这个题太难理解了
这个题太难了，我重新复盘一下它的思路：

好恶心的题目，这种思路就记住，利用第一问的$x_0$，将区间分为两半，走中值或者零点，如果中值走不通，想到区间两边异号的点。

22. ***这题我做错了，第一问解方程抄错一个数，第二问没有思路，就不详细算了，把答案贴在下面：
    
    ![2023-L6-3-22-D-2
    利用对角矩阵的转置也是对角矩阵，然后两边同时取转置就做出来了，很巧妙，我算的特征向量和答案的是不一样的，答案是带入的x1=1,x3=0，把-1的特征向量解出来，也对。

总结

这套卷难度太大了，需要好好复盘，时间紧迫，下周开始不写总结了，我要加油了，必须要加快速度和质量了。