MATLAB--微分方程

1、微分方程的基本概念

微分方程指的是含有未知函数及其倒数的方程。

常微分方程（ODE）指的是仅含有一个独立变量的微分方程。如果微分方程中的未知函数包含两个或者两个以上的独立变量，则称为偏微分方程。

特解：满足微分方程的某一个解。

通解：满足微分方程的一组解。

在给微分方程添加附加条件时，如果附加条件中

• 未知函数及其导数的独立变量取值相同，称为初值问题。

• 未知函数及其导数的独立变量取值不同，成为边值问题。

2、微分方程的求解

■dsolve函数可以用来求解微分方程。
■S=dsolve(eqn)：用来求解由eqn确定的微分方程，里面用diff，==来表示等号。
■S=dsolve(eqn,cond)：可以为方程添加cond所指定的初值或者边界条件。
■可以在后面添加属性名称和值。
■[y1,…,yn]=dsolve( _ )：求解常微分方程组。
■R2019b以后的版本，不支持以字符向量或者字符串作为方程的输入。
如：dsolve(‘Dy=y’)应以symsy(t);dsolve(diff(y,t)==y);来替代。

%求解一阶常微分方程：dy/dt=ay.初始条件为y(0)=5.
eqn=diff(y,t)==a*y;
cond=y(0)==5;
s=dsolve(eqn,cond);
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求解二阶常微分方程
$$\frac{d^{2}y}{d{u}^2}=a^{2}y$$
初始条件为y(0)=b和y`(0)=1.

>>syms y(t) a b
eqn=diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy=diff(y,t);
cond=[y(0)==b,Dy(0)==1];
s=dsolve(eqn,cond);
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求解常微分方程组
$$\frac{dy}{dz}=z$$
$$\frac{dz}{dt}=-y$$

>>syms y(t) z(t)
eqns=[diff(y,t)==z,diff(z,t)==-y];
S=dsolve(eqns);
[S1,S2]=dsolve(eqns);
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有些微分方程无法给出显式解，那么可以用属性’Implicit’来计算它的隐式解。

3、常微分方程的数值解法

①欧拉法

②龙格库塔法

4、偏微分方程