Vatti clipping 算法介绍

文章目录

一、背景
二、基本概念
三、算法介绍

一、背景

Vatti clipping 算法是很多几何图形库的底层实现原理, 比如clipper2就是基于Vatti clipping算法来实现的,本文介绍Vatti clipping算法中的基本概念以及其算法原理。

二、基本概念

下面是Vatti clipping算法中的基本概念：

1. 点（Vertex)

由于double在计算机中表示的精度问题，一般的几何图形库支持的基本数据类型都是整型数值类型（clipper2中虽然带有支持double类型的接口，其实现也是接收用户输入的double类型，转为integer类型后再进行计算，计算完成后，转为double类型返回给用户），点的数据结构为：

struct Vertex {
  int64_t x;
  int64_t y;
};
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2. 点的顺序（Vertex order)

Vatti 算法中通常优先按照y值进行对点排序，如果y值相等，则按照x值进行排序，点的比较算法为：

bool operator<(const Vertex& a, const Vertex& b) {
	if (a.y == b.y) {
	    return a.x < b.x;
	}
	return a.y < b.y;
}
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3. 边（Edge)

一条边e由两个点组成: start和end，边的起点和终点满足: e.start < e.end,边的数据结构为：

struct Edge {
	Vertex start;
	Vertex end;
}；
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3.1 左侧边和右侧边（Left-hand Edge and Right-hand Edge)

左和右是相对于图形的内侧区域而言的，在图形内侧的左边的边称为左侧边，在图形内侧的右边的边称为右侧边。如下图1
在这里插入图片描述

图1 （图片来源：Computer graphics and geometric modeling: implementation and algorithms )

图1中：

Left edges： $p_0p_8, p_8p_7, p_7p_6$ , 和 $p_4p_3, p_3p_2$
Right edges： $p_0p_1, p_1p_2$ , 和 $p_4p_5, p_5p_6$

3.2 左侧界和右侧界 (Left Bounds and Right Bounds)

连续的左侧边组成一个左侧界，连续的右侧边组成一个右侧界。上图1中：

Left Bounds:
- $B_1 = (p_0p_8, p_8p_7, p_7p_6)$
- $B_2 = (p_4p_3, p_3p_2)$
Right Bounds:
- $B_3 =(p_0p_1, p_1p_2)$
- $B_4 = (p_4p_5, p_5p_6)$

4. 局部最小多边形（Local mininum)

一个局部最小多边形（Local minimum)由一个根节点(root vertex)，以及其相连的左侧界和右侧界组成，这些左侧界和右侧界同时必须满足以下条件：

左侧界和右侧界的第一条边不能是水平的
左侧界和右侧界的最后一条边不能是水平的

如下图2所示，黑色部分是根节点，绿色部分是左侧界，红色部分为右侧界，下面的多边形可以由三个黄色虚线框标出的Local mininum组成。
在这里插入图片描述

图2

5. 局部最小多边形集（Local Mininum List: LML)

将图2中的三个黄色虚线框标出的最小多边形放到一个集合中，并按黑色根节点的y坐标按照从小到大排序，就得到了Local mininum的集合，即LML。

6. 扫描线（Scan Line)

从下往上，经过多边形的每一个顶点以及多边形边的交点的水平直线，称为扫描线。
对于LM,如果它的根节点位于Scan Line上，那么，该LM起始于该Scan Line。

7. 活跃边（Active edge）

如果某条非水平的边和Scan Line相交（包含边的起点，终点在Scan Line上，或者边的中间部分和Scan Line相交），那么称这条边为活跃边（Active edge)。根据交点在Active edge上的不同位置：

如果交点是Active edge的起点，那么称该Active edge位于Scan Line之上
如果交点是Active edge的终点，那么称该Active edge位于Scan Line之下
如果交点是Active edge除掉起点和终点的其它点，那么称该Active edge位于Scan Line之下或之上

如下图3，红色的Active edge位于Scan Line之上，蓝色的Active edge位于Scan Line之下，黑色的Active edge位于Scan Line之下或之上：

在这里插入图片描述

图3：Active edge和Scan Line的关系

1. 对Active edge进行排序

如果Active edge位于Scan Line之上（包含相交），这些Active edges将按照交点（与Scan Line 相交）或起点（位于Scan Line之上）的X坐标值进行排序，如果坐标值相等，将按顺时针方向对这些Active edge进行排序，如下图4，位于Scan Line之上或相交的红色Active edges的排序如标号所示：
在这里插入图片描述

图4：位于Scan Line之上的Active edge的排序

如果Active edge位于Scan Line之下（包含相交），这些Active edges将按照交点（与Scan Line 相交）或终点（位于Scan Line之上）的X坐标值进行排序，如果坐标值相等，将按逆时针方向对这些Active edge进行排序，如下图5，位于Scan Line之下或相交的绿色Active edges的排序如标号所示：
在这里插入图片描述

图5：位于Scan Line之下的Active edge的排序。共线的Active edge可以随意排序。

三、算法介绍

Vatti clipping的核心算法分为以下几步：

生成图形的LML
根据LML的root vertex,生成一个Scan Beam List（SBL）, SBL里面是按从小到大排好序的root vertex的Y坐标值
从SBL中取出最小的Y值，找到和纵坐标值为Y的Scan line相交的所有活跃边(Active edges)
处理找到的Active edges
将每条Active edge的终点的Y坐标加入到SBL, 并将SBL维持在有序状态
找出和当前Scan line相交的边的交点以及从SBL中获得的Y坐标生成的下一条Scan Line相交的交点
处理这些位于Scan beam内部的交点（不含Scan beam上部的交点）
将Scan Line移动到Scan beam上部，找到对应的Active edges
重复4-9步骤直到所有的图形都处理到了

下面详细介绍各步：

1. 生成图形的LML

LML是根据vertex排好序了的，排序规则是根据root vertex按照点的排序规则进行排序。对于root vertex重合的情况，顺序可以是任意的。

2. 初始化SBL

SBL里面是按从小到大排好序的LML的所有root vertex的Y坐标值

3. 生成Scan Line

取出并删除SBL中的最小值，形成一条Scan Line

4. 找到Active Edges

找到和当前Scan Line相交的所有活跃边：

找到位于Scan Line之下的Active Edges
那些和上一条Scan Line相交的边或者起点和上一条Scan Line重合的边，是位于当前Scan Line之下的边。如下图6所示：

图6

找到位于Scan Line之上的Active Edges

和上一条Scan Line相交的边或者起点和上一条Scan Line重合且终点不和当前Scan Line重合的边，是位于当前Scan Line之上的Active Edges，如下图7所示：

图7

和上一条Scan Line相交的边或者起点和上一条Scan Line重合且终点和当前Scan Line重合的边，以及起点位于当前Scan Line的边，是位于当前Scan Line之上的Active Edges，如下图8所示：

图8

对与LM,如果其root verter和当前Scan Line重合，那么它的第一条左侧边（Left edge)和第一条右侧边（Right edge)，是位于当前Scan Line之上的Active Edges，如下图9所示：

图9

这里对于水平边（Horizontal edges）和共线边（Collinear edges）的处理要注意：

Active Edges中是没有水平边的，对于这些和Scan Line重合的水平边，放在一个闭区间的集合中。和Active Edges分开存放
对于共线的Active Edges, 这在Vatti clipping算法是必须要通过其它办法修正的：
- 如果对于Scan line上方的两条active edge是colinear的，那么比较长的那条边将会被分成两部分：和其它active edge重合的部分将会被移除，剩下的部分和图形的其它部分向连接。
- 如果两条colinear的active edge完全重合，那么，其中一条将会被移除，之前和被移除的active edge相连接的边和剩下没有被移除的active edge相连接。

对于共线的Active Edges的处理示意图如下图10所示：
在这里插入图片描述