这是 LeetCode 上的 754. 到达终点数字 ，难度为 中等。
Tag : 「数学」
在一根无限长的数轴上，你站在 0 的位置。终点在 target 的位置。
你可以做一些数量的移动 numMoves :
i 次移动（从 i == 1 开始，到 i == numMoves），在选择的方向上走 i 步。给定整数 target，返回 到达目标所需的 最小 移动次数(即最小 numMoves ) 。
示例 1:
- 输入: target = 2
-
- 输出: 3
-
- 解释:
- 第一次移动，从 0 到 1 。
- 第二次移动，从 1 到 -1 。
- 第三次移动，从 -1 到 2 。
- 复制代码
示例 2:
- 输入: target = 3
-
- 输出: 2
-
- 解释:
- 第一次移动，从 0 到 1 。
- 第二次移动，从 1 到 3 。
- 复制代码
提示:
提示一：数轴上的任意点都以起点（000 点）对称，只需要考虑对称点的任意一边
由于题目没有限制我们「不能到达哪些点」以及「出发的起始方向」，因此以起点为中心的左右两边对称。
即：左边所能到达任意一个点，都能通过调整所达路径的方向来将终点调整到右边。
同时由于起点是一个特殊的位置 000 点，因此相应的「正数点」和「负数点」对称，我们仅需考虑一边（例如正数域）即可。
提示二：先往靠近 target 的方向移动，到达或越过 target 的时候则停止
只考虑 target 为正的情况，我们假定起始先往靠近 target 的方向移动（即所有步数均为正值），根据是「到达」还是「越过」target 位置分情况讨论：
target，此时消耗的必然是最小步数，可直接返回；target，假设此时消耗的步数为 kkk，所走的距离为 dist=k×(k+1)2>targetdist = \frac{k \times (k + 1)}{2} > targetdist=2k×(k+1)>target，我们可以考虑是否需要增加额外步数来到达 target。提示三：越过 target 时，如何不引入额外步数
若不引入额外步数，意味着我们需要将此前某些移动的方向进行翻转，使得调整后的 dist=targetdist = targetdist=target。
我们假设需要调整的步数总和为 tot，则有 dist−2×tot=targetdist - 2 \times tot = targetdist−2×tot=target，变形可得 tot=dist−target2tot = \frac{dist - target}{2}tot=2dist−target。
若想满足上述性质，需要确保能找到这样的 tot，即 tot 合法，
不难推导出当 dist 和 target 差值为「偶数」时（两者奇偶性相同），我们可以找到这样的 tot，从而实现不引入额外步数来到达 target 位置。
由于我们的 distdistdist 是由数列 [1,2,3,...,k][1,2,3,...,k][1,2,3,...,k] 累加而来，因此必然能够在该数列 [1,2,3...k][1,2,3...k][1,2,3...k] 中通过「不重复选择某些数」来凑成任意一个小于等于 distdistdist 的数。
提示四：越过 target 时，如何尽量减少引入额外步数
当 dist 和 target 差值不为「偶数」时，我们只能通过引入额外步数（继续往右走）来使得，两者差值为偶数。
可以证明，最多引入步数不超过 444 步，可使用得两者奇偶性相同，即不超过 444 步可以覆盖到「奇数」和「偶数」两种情况。
根据 kkk 与 444 的余数关系分情况讨论：
因此在越过 target 后，最多引入不超过 444 步可使得 dist 和 target 奇偶性相同。
提示五：如何不通过「遍历」或「二分」的方式找到一个合适的 k 值，再通过不超过 444 步的调整找到答案
我们期望找到一个合适的 k 值，使得 dist=k×(k+1)2
利用求和公式 dist=k×(k+1)2dist = \frac{k \times (k + 1)}{2}dist=2k×(k+1)，我们可以设定 k=⌊2×target)⌋k = \left \lfloor \sqrt{2 \times target}) \right \rfloork=⌊2×target)⌋ 为起始值，随后逐步增大 k 值，直到满足「dist 和 target 奇偶性相同」。
Java 代码：
- class Solution {
- public int reachNumber(int target) {
- if (target < 0) target = -target;
- int k = (int) Math.sqrt(2 * target), dist = k * (k + 1) / 2;
- while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
- k++;
- dist = k * (k + 1) / 2;
- }
- return k;
- }
- }
- 复制代码
TypeScript 代码：
- function reachNumber(target: number): number {
- if (target < 0) target = -target
- let k = Math.floor(Math.sqrt(2 * target)), dist = k * (k + 1) / 2
- while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
- k++
- dist = k * (k + 1) / 2
- }
- return k
- }
- 复制代码
Python 代码：
- class Solution:
- def reachNumber(self, target: int) -> int:
- if target < 0:
- target = -target
- k = int(math.sqrt(2 * target))
- dist = k * (k + 1) / 2
- while dist < target or (dist - target) % 2 == 1:
- k += 1
- dist = k * (k + 1) / 2
- return k
- 复制代码
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.754 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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