导数求函数的单调性与极值

设$f(x)$在$(a,b)$内可导，若$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$内单调增加；若$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$内单调减少

极值

设函数$f(x)$在$(a,b)$内有意义，$x_0$是$(a,b)$内的一点，则如果存在一个点$x_0$的邻域，使得对此邻域内的任意一点$x(x\ne x_0)$，
若$f(x)<f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个极大值；
若$f(x)>f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个极小值；
此时$x_0$为函数$f(x)$的一个极值点

极值点可能存在于：

• 驻点（一阶导为$0$的点）
• 一阶导数不存在的点

极值判定

第一充分条件：$f^{\prime }(x_0)=0$且左右异号，则 f ′ ( x 0 ) { 左增右减，极大值 左减右增，极小值 f'(x_0)\left\{左增右减，极大值左减右增，极小值

\right. f′(x0​){左增右减，极大值左减右增，极小值​

第二充分条件：$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，则 f ′ ′ ( x 0 ) { < 0 ，极大值 > 0 ，极小值 f''(x_0)\left\{<0，极大值>0，极小值

\right. f′′(x0​){<0，极大值>0，极小值​

例1

求函数$f(x)=2x+3\sqrt[3]{x^2}$的单调区间和最值

解：定义域为$(-\infty ,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=2+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$，可能极值点：$x_1=-1,x_2=0$

单调递增区间为$(-\infty ,-1]$和$[0,+\infty )$，单调递减区间为$[-1,0]$
极大值为$f(-1)=1$，极小值为$f(0)=0$

做题方法

• 定义域
• 满足$f^{\prime }(x)=0$或一阶导不存在的值$x_1,x_2\dots$，即可能极值点
• 画表格
• 总结

例2

求证：当$x>0$时，不等式$\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$成立

证明：
\qquad 令$f(x)=\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}$

\qquad 则$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1)$

$\because x>0$时，$f^{\prime }(x)<0$
$\therefore f(x)$在$(0,+\infty )$上单调递减
\qquad 即$f(x)<f(0)=0$
$\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}<0$

得证$x<0$时，$\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$成立


当然，这题有更简单的解法。这里只是用简单的题来让大家掌握导数在这类问题中的用法。

总结

通过导数的正负可以求单调性，不同单调区间的交点为极值。