二元
W
e
i
e
r
s
t
r
a
s
s
Weierstrass
Weierstrass逼近定理:设
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在区域
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1
0\le x\le 1,0\le y\le 1
0≤x≤1,0≤y≤1上连续,称
B
m
,
n
(
f
,
;
x
,
y
)
=
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
C
m
ν
C
n
μ
x
ν
(
1
−
x
)
m
−
ν
y
μ
(
1
−
y
)
n
−
μ
f
(
ν
m
,
μ
n
)
B_{m,n}(f,;x,y)=\sum_{\nu=0}^m\sum_{\mu=0}^nC_m^\nu C_n^\mu x^\nu (1-x)^{m-\nu}y^{\mu}(1-y)^{n-\mu}f \left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n} \right)
Bm,n(f,;x,y)=ν=0∑mμ=0∑nCmνCnμxν(1−x)m−νyμ(1−y)n−μf(mν,nμ)
为
(
m
,
n
)
(m,n)
(m,n)阶
B
e
r
n
s
t
e
i
n
Bernstein
Bernstein多项式,则当
m
,
n
→
∞
m,n\to \infty
m,n→∞时,
B
m
,
n
(
f
;
x
,
y
)
→
f
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
B_{m,n}(f;x,y)\to f(x,y), (x,y)\in [0,1]\times [0,1]
Bm,n(f;x,y)→f(x,y),(x,y)∈[0,1]×[0,1]
证明:记 b m , ν , n , μ ( x , y ) = C m ν C n μ x ν ( 1 − x ) m − ν y μ ( 1 − y ) n − μ = b m , ν ( x ) b n , μ ( y ) b_{m,\nu,n,\mu}(x,y)=C_m^\nu C_n^\mu x^\nu (1-x)^{m-\nu}y^{\mu}(1-y)^{n-\mu}=b_{m,\nu}(x)b_{n,\mu}(y) bm,ν,n,μ(x,y)=CmνCnμxν(1−x)m−νyμ(1−y)n−μ=bm,ν(x)bn,μ(y)
因为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是闭区间上的连续函数
所以 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)一致连续,即 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 \forall \varepsilon>0,\exist \delta>0 ∀ε>0,∃δ>0,对 ∀ ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] \forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in [0,1]\times [0,1] ∀(x1,y1),(x2,y2)∈[0,1]×[0,1],满足 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ , ∣ y 1 − y 2 ∣ < δ |x_1-x_2|<\delta, |y_1-y_2|<\delta ∣x1−x2∣<δ,∣y1−y2∣<δ,有 ∣ f ( x 1 , y 1 ) − f ( x 2 , y 2 ) ∣ < ε 4 |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\dfrac{\varepsilon}{4} ∣f(x1,y1)−f(x2,y2)∣<4ε
注意到
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
=
1
\sum\limits_{\nu=0}^m\sum\limits_{\mu=0}^nb_{m,\nu,n,\mu}(x,y)=1
ν=0∑mμ=0∑nbm,ν,n,μ(x,y)=1,对任意
(
x
,
y
)
∈
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
(x,y)\in [0,1]\times [0,1]
(x,y)∈[0,1]×[0,1],有
∣
f
(
x
,
y
)
−
B
m
,
n
(
f
;
x
,
y
)
∣
=
∣
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
f
(
x
,
y
)
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
−
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
f
(
ν
m
,
μ
n
)
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
∣
≤
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
将上述方程右边的求和项分为四部分
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
≤
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
<
δ
+
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
<
δ
+
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
+
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
\sum\limits_{\nu=0}^m\sum\limits_{\mu=0}^n\le \sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|<\delta}+ \sum\limits_{|x-\nu/m|\ge\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|<\delta}+ \sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge\delta}+ \sum\limits_{|x-\nu/m|\ge\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge\delta}
ν=0∑mμ=0∑n≤∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣<δ∑+∣x−ν/m∣≥δ∑∣y−μ/n∣<δ∑+∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑+∣x−ν/m∣≥δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑
对于第一部分,有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
<
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
<
ε
4
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
<
δ
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
<
ε
4
\sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|<\delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y)<\dfrac{\varepsilon}{4}\sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|<\delta}b_{m,\nu,n,\mu}(x,y)< \dfrac{\varepsilon}{4}
∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣<δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)<4ε∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣<δ∑bm,ν,n,μ(x,y)<4ε
对于第二部分,注意到
(
y
−
μ
/
n
)
2
/
δ
2
≥
1
,
∑
ν
=
0
m
b
m
,
ν
(
x
)
=
1
(y-\mu/n)^2/\delta^2\ge 1, \sum\limits_{\nu=0}^mb_{m,\nu}(x)=1
(y−μ/n)2/δ2≥1,ν=0∑mbm,ν(x)=1,于是有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
≤
∑
ν
=
0
m
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
2
M
b
m
,
ν
(
x
)
b
n
,
μ
(
y
)
≤
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
2
M
(
y
−
μ
/
n
)
2
δ
2
b
n
,
μ
(
y
)
≤
2
M
n
2
δ
2
∑
μ
=
0
n
(
μ
−
n
y
)
2
b
n
,
μ
(
y
)
其中
M
=
max
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1
∣
f
(
x
,
y
)
∣
M=\max\limits_{0\le x\le 1, 0\le y\le1}|f(x,y)|
M=0≤x≤1,0≤y≤1max∣f(x,y)∣
又注意到 ∑ μ = 0 n ( μ − m y ) 2 b n , μ ( y ) = n y ( 1 − y ) , y ( 1 − y ) ≤ 1 / 4 \sum\limits_{\mu =0}^n{(\mu-my)^2}b_{n,\mu}(y)=ny(1-y),y(1-y)\le 1/4 μ=0∑n(μ−my)2bn,μ(y)=ny(1−y),y(1−y)≤1/4
于是有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
≤
2
M
n
δ
2
y
(
1
−
y
)
≤
M
2
n
δ
2
\sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge \delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y)\le \dfrac{2M}{n\delta^2}y(1-y)\le \dfrac{M}{2n\delta^2}
∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)≤nδ22My(1−y)≤2nδ2M
令
N
1
=
2
M
ε
δ
2
N_1=\dfrac{2M}{\varepsilon\delta^2}
N1=εδ22M,则当
n
>
N
1
n> N_1
n>N1时,有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
<
ε
4
\sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge \delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y) <\dfrac{\varepsilon}{4}
∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)<4ε
对于第三部分同理,有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
<
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
<
ε
4
\sum\limits_{|x-\nu/m|\ge\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|< \delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y) <\dfrac{\varepsilon}{4}
∣x−ν/m∣≥δ∑∣y−μ/n∣<δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)<4ε
对于第四部分,注意到
(
x
−
ν
/
m
)
2
/
δ
2
≥
1
,
(
y
−
μ
/
n
)
2
/
δ
2
≥
1
(x-\nu/m)^2/\delta^2\ge 1,(y-\mu/n)^2/\delta^2\ge 1
(x−ν/m)2/δ2≥1,(y−μ/n)2/δ2≥1,于是有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
≤
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
2
M
b
m
,
ν
(
x
)
b
n
,
μ
(
y
)
≤
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
2
M
(
x
−
ν
/
m
)
2
δ
2
b
m
,
ν
(
x
)
(
y
−
μ
/
n
)
2
δ
2
b
n
,
μ
(
y
)
≤
2
M
m
2
n
2
δ
4
∑
ν
=
0
m
∑
μ
=
0
n
(
ν
−
m
x
)
2
b
m
,
ν
(
x
)
(
μ
−
n
y
)
2
b
n
,
μ
(
y
)
其中
M
=
max
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1
∣
f
(
x
,
y
)
∣
M=\max\limits_{0\le x\le 1, 0\le y\le1}|f(x,y)|
M=0≤x≤1,0≤y≤1max∣f(x,y)∣
又注意到 ∑ ν = 0 m ( ν − m x ) 2 b m , ν ( x ) = m x ( 1 − x ) , x ( 1 − x ) ≤ 1 / 4 , ∑ μ = 0 n ( μ − m y ) 2 b n , μ ( y ) = n y ( 1 − y ) , y ( 1 − y ) ≤ 1 / 4 \sum\limits_{\nu =0}^m{(\nu-mx)^2}b_{m,\nu}(x)=mx(1-x),x(1-x)\le 1/4,\sum\limits_{\mu =0}^n{(\mu-my)^2}b_{n,\mu}(y)=ny(1-y),y(1-y)\le 1/4 ν=0∑m(ν−mx)2bm,ν(x)=mx(1−x),x(1−x)≤1/4,μ=0∑n(μ−my)2bn,μ(y)=ny(1−y),y(1−y)≤1/4
于是有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
<
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
≤
2
M
m
n
δ
4
x
(
1
−
x
)
y
(
1
−
y
)
≤
M
8
m
n
δ
2
\sum\limits_{|x-\nu/m|<\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge \delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y)\le \dfrac{2M}{mn\delta^4}x(1-x)y(1-y)\le \dfrac{M}{8mn\delta^2}
∣x−ν/m∣<δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)≤mnδ42Mx(1−x)y(1−y)≤8mnδ2M
则当
m
n
>
M
2
ε
δ
2
mn>\dfrac{M}{2\varepsilon \delta^2}
mn>2εδ2M时,有
∑
∣
x
−
ν
/
m
∣
≥
δ
∑
∣
y
−
μ
/
n
∣
≥
δ
∣
f
(
x
,
y
)
−
f
(
ν
m
,
μ
n
)
∣
b
m
,
ν
,
n
,
μ
(
x
,
y
)
<
ε
4
\sum\limits_{|x-\nu/m|\ge\delta}\sum\limits_{|y-\mu/n|\ge \delta}\left| f(x,y)-f\left(\dfrac{\nu}{m},\dfrac{\mu}{n}\right)\right|b_{m,\nu,n,\mu}(x,y) <\dfrac{\varepsilon}{4}
∣x−ν/m∣≥δ∑∣y−μ/n∣≥δ∑∣
∣f(x,y)−f(mν,nμ)∣
∣bm,ν,n,μ(x,y)<4ε
综上,有
max
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1
∣
f
(
x
,
y
)
−
B
m
,
n
(
f
;
x
,
y
)
∣
<
ε
\max\limits_{0\le x\le 1, 0\le y\le1}|f(x,y)-B_{m,n}(f;x,y)|<\varepsilon
0≤x≤1,0≤y≤1max∣f(x,y)−Bm,n(f;x,y)∣<ε
故 B m , n ( f ; x , y ) → f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] B_{m,n}(f;x,y)\to f(x,y),(x,y)\in[0,1]\times [0,1] Bm,n(f;x,y)→f(x,y),(x,y)∈[0,1]×[0,1]