深度学习求解微分方程系列二：PINN求解burger方程

下面我将介绍内嵌物理知识神经网络（PINN）求解微分方程。首先介绍PINN基本方法，并基于Pytorch的PINN求解框架实现求解含时间项的一维burger方程逆问题。

内嵌物理知识神经网络（PINN）入门及相关论文
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1.PINN简介

神经网络作为一种强大的信息处理工具在计算机视觉、生物医学、 油气工程领域得到广泛应用, 引发多领域技术变革.。深度学习网络具有非常强的学习能力, 不仅能发现物理规律, 还能求解偏微分方程.。近年来，基于深度学习的偏微分方程求解已是研究新热点。内嵌物理知识神经网络（PINN）是一种科学机器在传统数值领域的应用方法，能够用于解决与偏微分方程 （PDE） 相关的各种问题，包括方程求解、参数反演、模型发现、控制与优化等。

2.PINN方法

PINN的主要思想如图1，先构建一个输出结果为$\hat{u}$的神经网络，将其作为PDE解的代理模型，将PDE信息作为约束，编码到神经网络损失函数中进行训练。损失函数主要包括4部分：偏微分结构损失(PDE loss)，边值条件损失(BC loss)、初值条件损失(IC loss)以及真实数据条件损失(Data loss)。

图1：PINN示意图

特别的，考虑下面这个的PDE问题，其中PDE的解$u(x)$在$\Omega \subset {\mathbb{R}}^d$定义，其中$\mathbf{x}=\left(x_1,\dots ,x_d\right)$：
$$f\left(\mathbf{x};\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial u}{\partial x_d};\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_1},\dots ,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_d}\right)=0,\mathbf{x}\in \Omega$$
同时，满足下面的边界
$$\mathcal{B}(u,\mathbf{x})=0\text{ on }\partial \Omega$$

PINN求解过程主要包括：

• 第一步，首先定义D层全连接层的神经网络模型：
  $$N_{\Theta }:=L_D\circ \sigma \circ L_{D-1}\circ \sigma \circ \cdots \circ \sigma \circ L_1$$
  式中：
  $$\begin{array}{rl}{L}_1(x)& :=W_{1}x+b_1,W_1\in {\mathbb{R}}^{d_1\times d},b_1\in {\mathbb{R}}^{d_1}\\ L_i(x)& :=W_{i}x+b_i,W_i\in {\mathbb{R}}^{d_i\times d_{i-1}},b_i\in {\mathbb{R}}^{d_i},\forall i=2,3,\cdots D-1,\\ L_D(x)& :=W_{D}x+b_D,W_D\in {\mathbb{R}}^{N\times d_{D-1}},b_D\in {\mathbb{R}}^N.\end{array}$$
  以及 $\sigma$ 为激活函数， $W$ 和 $b$ 为权重和偏差参数。
• 第二步，为了衡量神经网络$\hat{u}$和约束之间的差异，考虑损失函数定义：
  $$\mathcal{L}\left(\mathbf{\theta }\right)=w_f{\mathcal{L}}_{PDE}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_f\right)+w_i{\mathcal{L}}_{IC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_i\right)+w_b{\mathcal{L}}_{BC}\left(\mathbf{\theta },;{\mathcal{T}}_b\right)+w_d{\mathcal{L}}_{Data}\left(\mathbf{\theta },;{\mathcal{T}}_{data}\right)$$
  式中：
  $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{PDE}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_f\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_f\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_f}{\Vert f\left(\mathbf{x};\frac{\partial \hat{u}}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \hat{u}}{\partial x_d};\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial x_1\partial x_1},\dots ,\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial x_1\partial x_d}\right)\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{IC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_i\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_i\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_i}\Vert \hat{u}(\mathbf{x})-u(\mathbf{x}){\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{BC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_b\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_b\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_b}\Vert \mathcal{B}(\hat{u},\mathbf{x}){\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{Data}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_{data}\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_{data}\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_{data}}\Vert \hat{u}(\mathbf{x})-u(\mathbf{x}){\Vert }_2^2\end{array}$$
  $w_f$，$w_i$、$w_b$和$w_d$是权重。${\mathcal{T}}_f$，${\mathcal{T}}_i$、${\mathcal{T}}_b$和${\mathcal{T}}_{data}$表示来自PDE，初值、边值以及真值的residual points。这里的${\mathcal{T}}_f\subset \Omega$是一组预定义的点来衡量神经网络输出$\hat{u}$与PDE的匹配程度。
• 最后，利用梯度优化算法最小化损失函数，直到找到满足预测精度的网络参数 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \theat at position 1: \̲t̲h̲e̲a̲t̲^{*}。

值得注意的是，对于逆问题，即方程中的某些参数未知。若只知道PDE方程及边界条件，PDE参数未知，该逆问题为非定问题，所以必须要知道其他信息，如部分观测点$u$ 的值。在这种情况下，PINN做法可将方程中的参数作为未知变量，加到训练器中进行优化，损失函数包括Data loss。

3.求解问题定义—逆问题

u t + u u x = v u x x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , t > 0 u ( x , 0 ) = − sin ⁡ ( π x ) u ( − 1 , t ) = u ( 1 , t ) = 0 ut+uux=vuxx,x∈[−1,1],t>0u(x,0)=−sin(πx)u(−1,t)=u(1,t)=0

ut​+uux​u(x,0)u(−1,t)​=vuxx​,x∈[−1,1],t>0=−sin(πx)=u(1,t)=0​

式中：参数 $v$为未知参数，真实值为 $v\in [0,0.1/\pi ]$。数值解通过Hopf-Cole transformation获得，如图2。
任务要求：

• 该任务为已知边界条件和微分方程，但方程中参数未知，求解u 以及方程参数。
• 该问题典型逆问题，优化方程参数的反演问题。
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图2：Burger数值解

4.结果展示

训练过程，参数变化图如图3所示。可以清楚看到，在训练的早期，使用了自适应激活函数的PINN能够更快的下降并收敛到exact value。
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图3：训练过程问题参数及训练误差变化图

训练过程中预测结果图如图4-6。

图4：预测误差图

图5：预测图

图6：不同时间下预测结果图 ​