数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第八章

题目：

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1. 人口模型中马尔萨斯模型与逻辑斯模型有何区别？

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马尔萨斯的人口论指出：在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量成指数增长。人口增长的数学模型的共同特征是人口数量在单位时间内增长的百分比 r 是一定的。写成一个微分方程的形式，设 t = 0 时刻的人口数量为 $N_0$，则 $\mathrm{t}$ 时刻的总人口 $N_t$ 满足 $\frac{1}{N_t}\frac{d{N}_t}{dt}=r\Rightarrow N_t=N_0{e}^{rt}$
在资源环境的限制下, 假设资源环境能承受的人口数量为 $K$, 则可以建立一个逻辑斯谛方程: $\frac{1}{N_t}\frac{d{N}_t}{dt}=r\left(1-\frac{N_t}{K}\right)$ 这个方程将得出仅在人口 $N_t\ll K$ 时 ，增长 $N_t\sim N_0{e}^{rt}$ 才是指数的。当 $N_t$ 接近 $\mathrm{K}$ 时, 人口的增长明显受到天花板 $\mathrm{K}$ 的 压制。虽然 $N_t>K$ 时确实会出现人口的负增长, 但不过是平稳地趋近于平衡水 平 $\mathrm{K}$, 而并不会发生马尔萨斯所担心的灾难性人口锐减的行为。

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2. 牛顿谐振动和小阻尼振动的微分方程之间有何区别和联系？

牛顿谐振动的微分方程:
$\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+{\omega }^{2}u(t)=0\Rightarrow u(t)=C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t$ 小阻尼振动的微分方程: $\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+2\epsilon \frac{du}{dt}+{\omega }^{2}u(t)=0$, 设解函数有如下格式 $u(t)=e^{(-\epsilon t)}\sin t$ 代入方程化简得:
$\frac{d^{2}v}{d{t}^2}+\left({\omega }^2-{\epsilon }^2\right)v=0\Rightarrow$
$\mathrm{v}(\mathrm{t})=C_1\cos kt+C_2\sin kt\left({\omega }^2-{\epsilon }^2=k^2\right)$ 可见小阻尼振动的微分方程和牛顿谐振动的微分方程的形式又可以统一起来。

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3. 单摆的常微分方程如何求近似解？

θ ′ ′ = − a sin ⁡ θ  令  y 1 = θ , y 2 = θ ′ { y 2 = y 1 ′ y 2 ′ = − a sin ⁡ y 1 ⇒ { y 2 ( 0 ) = 1 y 2 ′ = − asin ⁡ y 1 ⇒ y n + 1 = y n + h ( − a sin ⁡ y 1 n ) n = 0 , 1 , 2 … . . N − 1

​θ′′=−asinθ 令 y1​=θ,y2​=θ′{y2​=y1′​y2′​=−asiny1​​⇒{y2​(0)=1y2′​=−asiny1​​⇒yn+1​=yn​+h(−asiny1n​​)n=0,1,2…..N−1​

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4. 求一阶常微分方程数值解的欧拉法与平面向量场图形有何联系？

一阶常微分方程解的几何意义是一族曲线。而满足初始条件 $y\left(x_0\right)=y_0$ 的 解 $y(x)$ 对应于其中一条曲线。函数 $f(x,y)$ 值, 恰好是曲线 $y(x)$ 在 $\mathrm{x}$ 处切线的斜率。曲线族中每一条曲线的切线斜率在平面上确定的方向构成平面区域内的向量场。欧拉法的几何意义是用折线段 $P_0{P}_1{P}_2\dots$ 来近似代替方程:

{ d y d x = f ( x , y ) , a ≤ x ≤ b y ( a ) = y 0 \left\{

\right. {dxdy​=f(x,y),a≤x≤by(a)=y0​​
的解曲线𝑦 = 𝑦(𝑥),在每一小段上
$$\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}=f\left(x_n,y_n\right)$$

即: $y_{n+1}=y_n+hf\left(x_n,y_n\right)$

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5. 二阶龙格-库塔法和欧拉法有何联系?

对于 $r=2$ 的 R-K 方法, 可得如下计算公式:
{ y n + 1 = y n + h ( c 1 K 1 + c 2 K 2 ) K 1 = f ( x n , y n ) K 2 = f ( x n + λ 2 h , y n + μ 21 h K 1 ) \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​yn+1​=yn​+h(c1​K1​+c2​K2​)K1​=f(xn​,yn​)K2​=f(xn​+λ2​h,yn​+μ21​hK1​)​
取 $c_1=c_2=\frac{1}{2},{\lambda }_2={\mu }_{21}=1$, 得出改进形式的欧拉法
$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left[f\left(x_n,y_n\right)+f\left(x_n+h,y_n+hf\left(x_n,y_n\right)\right)\right]$$

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6. 一阶常微分方程组和一阶常微分方程在求数值解时用龙格-库塔方法有何区别？

• 求解一阶常微分方程组时，只要把方程组的 y 与 f 理解为向量，就可以代入一阶方程组的龙格-库塔法进行求解。

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7. 求二阶以上的常微分方程数值解时如何应用龙格-库塔方法？

求解高阶微分方程的初值问题, 可以将其化为一阶方程组进行求解, 对 $m$ 阶微分方程 $y^{(m)}=f\left(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(m-1)}\right)$, 只要引进新的变量 $y_1=y,y_2=$ $y^{\prime },\dots ,y_m=y^{(m-1)}$, 即可将 $m$ 阶微分方程化为一阶微分方程组
{ y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = y 3 ⋮ y m − 1 ′ = y m y m ′ = f ( x , y 1 , y 2 , … , y m ) \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​y1′​=y2​y2′​=y3​⋮ym−1′​=ym​ym′​=f(x,y1​,y2​,…,ym​)​
然后利用求解一阶常微分方程组的龙格-库塔方法进行求解。

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8. 蝴蝶效应的洛伦兹方程有何特点？

• 蝴蝶效应的洛伦兹方程,每个方程都是一阶常微分方程， 每个分量初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应，使结果很不稳定。