第 1 型曲线积分两种离散化公式
左矩形公式:
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
x
≈
∑
k
=
0
N
−
1
f
(
x
k
,
y
k
)
Δ
s
k
\int_L f(x, y) d x \approx \sum_{k=0}^{N-1} f\left(x_k, y_k\right) \Delta s_k
∫Lf(x,y)dx≈∑k=0N−1f(xk,yk)Δsk
右矩形公式:
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
x
≈
∑
k
=
1
N
f
(
x
k
,
y
k
)
Δ
s
k
−
1
\int_L f(x, y) d x \approx \sum_{k=1}^N f\left(x_k, y_k\right) \Delta s_{k-1}
∫Lf(x,y)dx≈∑k=1Nf(xk,yk)Δsk−1
区别: 左矩形的微元的体积要小于右矩形的微元的体积
两点线性揷值公式:
f
(
x
)
≈
b
−
x
b
−
a
f
(
a
)
+
x
−
a
b
−
a
f
(
b
)
f(x) \approx \frac{b-x}{b-a} f(a)+\frac{x-a}{b-a} f(b)
f(x)≈b−ab−xf(a)+b−ax−af(b)
简单梯形公式:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
2
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
]
\int_a^b f(x) d x \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]
∫abf(x)dx≈2b−a[f(a)+f(b)]
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
[
∫
a
b
b
−
x
b
−
a
d
x
]
f
(
a
)
+
[
∫
a
b
x
−
a
b
−
a
d
x
]
f
(
b
)
A
0
=
∫
a
b
b
−
x
b
−
a
d
x
=
1
2
(
b
−
a
)
A
1
=
∫
a
b
x
−
a
b
−
a
d
x
=
1
2
(
b
−
a
)
⇒
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
2
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
]
在
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 内揷入点:
a
≤
x
0
<
x
1
<
x
2
<
x
n
≤
b
a \leq x_0
拉格朗日揷值公式:
f
(
x
)
≈
∑
j
=
0
n
l
j
(
x
)
f
(
x
j
)
f(x) \approx \sum_{j=0}^n l_j(x) f\left(x_j\right)
f(x)≈∑j=0nlj(x)f(xj)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
j
=
0
n
[
∫
a
b
l
j
(
x
)
d
x
]
f
(
x
j
)
令
A
j
=
∫
a
b
l
j
(
x
)
d
x
,
(
j
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
j
=
0
n
A
j
f
(
x
j
)
+
R
(
f
)
由拉格朗日插值余项定理, 可得插值型求积公式余项:
R
(
f
)
=
∫
a
b
[
f
(
x
)
−
L
n
(
x
)
]
d
x
=
∫
a
b
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
ω
n
+
1
(
x
)
d
x
R(f)=\int_a^b\left[f(x)-L_n(x)\right] d x=\int_a^b \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}(x) d x
R(f)=∫ab[f(x)−Ln(x)]dx=∫ab(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x)dx, 可记为
R
(
f
)
=
K
f
(
m
+
1
)
(
η
)
,
η
∈
(
a
,
b
)
R(f)=K f^{(m+1)}(\eta), \eta \in(a, b)
R(f)=Kf(m+1)(η),η∈(a,b)
对于中矩形, 公式, 其代数精度为 1 ,
K
=
1
2
[
1
3
(
b
2
−
a
2
)
−
(
b
−
a
)
(
a
+
b
2
)
2
]
=
(
b
−
a
)
3
24
K=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}\left(b^2-a^2\right)-(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\right]=\frac{(b-a)^3}{24}
K=21[31(b2−a2)−(b−a)(2a+b)2]=24(b−a)3
故
R
(
f
)
=
(
b
−
a
)
3
24
f
′
′
(
η
)
,
η
∈
(
a
,
b
)
R(f)=\frac{(b-a)^3}{24} f^{\prime \prime}(\eta), \eta \in(a, b)
R(f)=24(b−a)3f′′(η),η∈(a,b)
将积分区间
[
a
,
b
]
n
[a, b] n
[a,b]n 等分取
h
=
b
−
a
n
,
x
1
=
a
+
1
2
h
,
x
j
=
x
1
+
(
j
−
1
)
h
,
(
j
=
2
,
3
…
n
)
h=\frac{b-a}{n}, \quad x_1=a+\frac{1}{2} h, x_j=x_1+(j-1) h, \quad(j=2,3 \ldots n)
h=nb−a,x1=a+21h,xj=x1+(j−1)h,(j=2,3…n)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
[
f
(
x
1
)
+
⋯
+
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
\int_{\boldsymbol{a}}^{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} \boldsymbol{x} \approx \boldsymbol{h}\left[\boldsymbol{f}\left(x_1\right)+\cdots+\boldsymbol{f}\left(x_{n-1}\right)+\boldsymbol{f}\left(x_n\right)\right]
∫abf(x)dx≈h[f(x1)+⋯+f(xn−1)+f(xn)]
中矩形公式的误差金项是:
R
(
f
)
=
(
b
−
a
)
3
24
f
′
′
(
η
)
,
η
∈
(
a
,
b
)
R(f)=\frac{(b-a)^3}{24} f^{\prime \prime}(\eta), \eta \in(a, b)
R(f)=24(b−a)3f′′(η),η∈(a,b)
所以复合型中矩形公式的误差余项:
R
n
(
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
[
h
3
24
f
′
′
(
η
k
)
]
,
η
k
ϵ
(
x
k
,
x
k
+
1
)
R_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}\left[\frac{h^3}{24} f^{\prime \prime}\left(\eta_k\right)\right], \eta_k \epsilon\left(x_k, x_{k+1}\right)
Rn(f)=∑k=0n−1[24h3f′′(ηk)],ηkϵ(xk,xk+1)
因为
f
′
′
(
η
)
=
1
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
′
′
(
η
k
)
f^{\prime \prime}(\eta)=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f^{\prime \prime}\left(\eta_k\right)
f′′(η)=n1∑k=0n−1f′′(ηk)
所以:
R
n
(
f
)
=
b
−
a
24
h
2
f
′
′
(
η
)
R_n(f)=\frac{b-a}{24} h^2 f^{\prime \prime}(\eta)
Rn(f)=24b−ah2f′′(η)
如果求积结点
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
x_0, x_1, \ldots, x_n
x0,x1,…,xn,使插值型求积公式
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
\int_{-1}^1 f(x) d x \approx \sum_{k=0}^n A_k f\left(x_k\right)
∫−11f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk) 的代数精度为
2
n
+
1
2 \mathrm{n}+1
2n+1, 则称求积公式为 Gauss 型求积 公式, 称这些求积结点为 Gauss 点。
两点数值积分公式代数精度最高能达到3阶。证明如下：
求积公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
A
1
f
(
x
0
)
+
A
1
f
(
x
1
)
, 对于
f
(
x
)
=
1
,
x
,
x
2
,
x
3
精确成立,
\text { 求积公式： } \int_a^b f(x) d x \approx A_1 f\left(x_0\right)+A_1 f\left(x_1\right) \text {, 对于 } f(x)=1, x, x^2, x^3 \text { 精确成立, }
求积公式： ∫abf(x)dx≈A1f(x0)+A1f(x1), 对于 f(x)=1,x,x2,x3 精确成立,
设
f
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
2
(
x
−
x
1
)
2
f(x)=\left(x-x_0\right)^2\left(x-x_1\right)^2
f(x)=(x−x0)2(x−x1)2, 这是 4 次多项式, 代入左端有
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
>
0
\int_a^b f(x) d x>0
∫abf(x)dx>0 而
f
(
x
0
)
=
f
(
x
1
)
=
0
f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)=0
f(x0)=f(x1)=0 故右端为 0 , 表明两个节点的求积公式最高代数精度为 3
由函数的泰勤展式可以引出数值求导公式。设
h
>
0
h>0
h>0, 考虑函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的 Tay1or 展式
f
(
a
+
h
)
=
f
(
a
)
+
h
f
′
(
a
)
+
h
2
2
!
f
′
′
(
a
)
+
h
3
3
!
f
(
3
)
(
a
)
+
h
4
4
!
f
(
4
)
(
a
)
+
⋯
f
(
a
−
h
)
=
f
(
a
)
−
h
f
′
(
a
)
+
h
2
2
!
f
′
′
(
a
)
−
h
3
3
!
f
(
3
)
(
a
)
+
h
4
4
!
f
(
4
)
(
a
)
+
⋯
截取等式右端前两项, 得数值微分公式
f
′
(
a
)
≈
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
f
′
(
a
)
≈
f
(
a
)
−
f
(
a
−
h
)
h
f^{\prime}(a) \approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \quad f^{\prime}(a) \approx \frac{f(a)-f(a-h)}{h}
f′(a)≈hf(a+h)−f(a)f′(a)≈hf(a)−f(a−h)
这两式分别是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
a
x=a
x=a 处的右导数和左导数近似值, 被称为向前差商和 向后差商公式。如果将两式取算术平均, 则有一阶导数计算的中心差商公式
f
′
(
a
)
≈
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
−
h
)
2
h
f^{\prime}(a) \approx \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}
f′(a)≈2hf(a+h)−f(a−h)
由泰勤展式, 利用二阶中心差商得
f
′
(
x
k
)
≈
f
(
x
k
+
1
)
−
f
(
x
k
−
1
)
2
h
−
1
6
[
f
′
(
x
k
+
1
)
−
2
f
′
(
x
k
)
+
f
′
(
x
k
−
1
)
]
+
o
(
h
2
)
令
m
k
=
f
′
(
x
k
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
)
则有
m
k
−
1
+
4
m
k
+
m
k
+
1
=
3
h
[
f
(
x
k
+
1
)
−
f
(
x
k
−
1
)
]
+
o
(
h
4
)
在上式中, 一阶导数值隐含在线性方程组中, 当给定
m
0
,
m
1
m_0, m_1
m0,m1 时方程组有唯 一解。上述方法为数值求导的隐式方法。
对于插值型求导公式:
误差余项:
f
′
(
x
)
−
P
n
′
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
ω
n
+
1
′
(
x
)
+
ω
n
+
1
(
x
)
(
n
+
1
)
!
d
d
x
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
f^{\prime}(x)-P_n^{\prime}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}^{\prime}(x)+\frac{\omega_{n+1}(x)}{(n+1) !} \frac{d}{d x} f^{(n+1)}(\xi)
f′(x)−Pn′(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1′(x)+(n+1)!ωn+1(x)dxdf(n+1)(ξ)
式中:
ω
n
+
1
(
x
)
=
∏
i
=
0
n
(
x
−
x
i
)
\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^n\left(x-x_i\right)
ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi)