信息学奥赛一本通 2082：【21NOIP提高组】报数 | 洛谷 P7960 [NOIP2021] 报数

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ybt 2082：【21NOIP提高组】报数
洛谷 P7960 [NOIP2021] 报数

【题目考点】

1. 筛法求质数

2. 因数

3. 数字拆分

4. 链表思想

【解题思路】

根据新的规则，任何一个十进制中某一位含有7的数字的倍数都不能报出来。
那么不能报出来的数字一定存在某一位是7的因数。
该题核心点为：如何判断一个数字的所有因数中，存在因数某一位是7。简单说成：判断某数字的因数中是否包含7。

解法1：枚举（70分）

has7函数：使用数字拆分的方法判断一个数字中是否有一位为7（是否包含7）。
设函数fac7，fac7(n)返回值表示n的因数中是否包含7。

• 先枚举出n的所有因数，可以枚举所有满足$i\le \sqrt{n}$的i，如果n能整除i，那么i及n/i都是n的因数。
• 用has7函数判断n的因数中是否包含7，如果存在包含的情况，那么fac7函数返回true。如果不存在包含7的情况，返回false。

主函数中，对于每次输入的x，

• 如果x的因数中包含7，那么输出-1。
• 否则从x+1开始，不断判断后面的每个数字的因数中是否包含7。如果找到某个数字的因数中不包含7，那么就输出这个数字。

has7的复杂度为$O(logn)$，fact7的复杂度为$O(\sqrt{n}\cdot logn)$，询问次数T最大为$10^5$，输入的x最大为$10^7$。极端情况下，要对每个数字判断一下它的因数中是否有7，复杂度为$O(n\sqrt{n}\cdot logn)$，在n达到$10^7$时，总运算次数一定会超过$10^8$，会超时。
实际情况，用该方法写出代码提交，可以得70分。

解法2：筛法（100分）

该问题要做$10^5$次的询问，如果预先确定了每个可能的数字的的因数中是否包含7，那么每次询问的复杂度为$O(1)$。
类比判断多次询问的数字是不是质数的问题，可以通过筛法求质数表，而后询问的方法来减少复杂度。本题也可以采用类似的筛法。

设数组fac7，fac7[i]表示数字i的因数中是否包含7，数组所有元素初值都为false。
显然fac7[1]为false，i从2开始循环到$10^7$

• 如果fac7[i]为true，则略过。
• 如果fac7[i]为false，那么使用has7函数判断数字i中是否某一位是7。如果是，那么对所有满足$i\le 10^7$的i的倍数j，都把fac7[j]设为true。

对于输入的x，如果x的因数包含7，即fac7[x]为真，那么输出-1。
否则，要输出x的下一个因数包含7的数字。如果在这里枚举x后的每个数字看其因数是否包含7，则复杂度过高。
这里可以设一个链式结构，设数组nextNot7，nextNot7[i]表示数字i的下一个因数不包含7的数字。该数组的值可以在做筛法的过程中生成，具体见代码注释。
在生成该数组后，x的下一个因数不包含7的数字就是nextNot7[x]。
【注意】输入的x可以是$10^7$，而$10^7$是一个因数不包含7的数字，它的下一个因数不包含7的数字是$10000001$，因此在做筛法时，最后一次循环时i应该是10000001，使得nextNot7[10000000]为10000001才可以。

【题解代码】

解法1：枚举（70分）

#include 
using namespace std;
bool has7(int n)//判断数字n的某一位中是否有数字7 
{
	for(int a = n; a > 0; a /= 10)//n都是正整数，可以用for循环 
		if(a%10 == 7)
			return true;
	return false;
}
bool fac7(int n)//判断数字n是否有因数中包含7 
{
	for(int i = 1; i*i <= n; ++i)
		if(n%i == 0 && (has7(i) || has7(n/i)))
			return true;
	return false;	
}
int main()
{
	int t, x, r;
	scanf("%d", &t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d", &x);
		if(fac7(x))
			printf("-1\n");
		else
		{
			for(r = x+1; fac7(r); ++r);//如果r因数中有7，就看下一个数字。直到找到一个因数中没有7的数字。 
			printf("%d\n", r);
		}
	}
	return 0;
}
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解法2：筛法（100分）

#include 
using namespace std;
#define N 10000000
bool fac7[N+2];//fac7[i]:数字i的因数中某一位是否包含7 
int nextNot7[N];//lastNot7[i]:数字i向后找第1个因数中不包含7的数字 
bool has7(int n)//判断数字n的某一位中是否有数字7 
{
	for(int a = n; a > 0; a /= 10)//n都是正整数，可以用for循环 
		if(a%10 == 7)
			return true;
	return false;
}
void screen()//普通筛法 
{
	int lastNot7 = 1;//上一个因数中不包含7的数字 
	for(int i = 2; i <= N+1; ++i)
	{
		if(fac7[i] == false)//如果还没有判断i
		{
			if(has7(i))//如果i中某一位包含7 
			{ 
				for(int j = i; j <= N; j += i)//i的所有倍数的因数中都包含7 
					fac7[j] = true;
			}
			else//确定i的因数不包含7 
			{
				nextNot7[lastNot7] = i;//lastNot7的下一个不包含7的数字是i 
				lastNot7 = i;//lastNot7变为i 
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int t, x, i;
	screen();//筛法得到fac7
	scanf("%d", &t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d", &x);
		if(fac7[x])
			printf("-1\n");
		else
			printf("%d\n", nextNot7[x]);
	}
	return 0; 
}
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