【附录01】概率基本性质和法则推导证明

【附录】概率基本性质与法则的推导证明

公理

$$\begin{array}{rl}& P(\Omega )=1\\ & P(A)\ge 0,\forall A\in 2^{\Omega }\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B),\forall A,B\in 2^{\Omega },A\cap B=\varnothing \end{array}$$

1. $A\subseteq B⟹P(A)\le P(B)$

证明：    \; $\because A\subseteq B$

\quad\qquad $\therefore \exists S$，满足 $B=A\cup S$，其中 $A\cap S=\varnothing$

\quad\qquad 根据公理(3)可得, $P(B)=P(A\cup S)=P(A)+P(S)$

\quad\qquad 由公理(2)可知 $P(S)\ge 0$,

\quad\qquad $\therefore P(B)=P(A)+P(S)\ge P(A)$ ，即$P(A)\le P(B)■$

2. $P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))$

证明：    \; 设 $J$ 为 $A,B$ 的交集，即 $J=A\cap B$，则有 $J\subseteq A$ 且 $J\subseteq B$

\quad\qquad 根据性质 $A\subseteq B⟹P(A)\le P(B)$ 可得：

\quad\qquad $P(J)=P(A\cap B)\le P(A)$;

\quad\qquad $P(J)=P(A\cap B)\le P(B)$;

\quad\qquad 综合上面两个等式可得，$P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))■$

3. $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$

证明：    \; 设 $B^{\prime }\subseteq B$， $A\cap B^{\prime }=\varnothing$，且 $A\cup B=A\cup B^{\prime }$，

\quad\qquad $\because A\cap B^{\prime }=\varnothing$

\quad\qquad $\therefore$ 根据公理（3）可得： $P(A\cup B)=P(A\cup B^{\prime })=P(A)+P(B^{\prime })$

\quad\qquad $\because B^{\prime }\subseteq B$

\quad\qquad $\therefore$ 根据性质（2）可得：$P(B^{\prime })\le P(B)$

\quad\qquad $\therefore P(A)+P(B^{\prime })\le P(A)+P(B)$

\quad\qquad $\therefore P(A\cup B)\le P(A)+P(B)■$

4. $P(\Omega -A)=1-P(A)$

证明：    \; $\because \Omega =(\Omega -A)\cup A,(\Omega -A)\cap A=\varnothing$

\quad\qquad $\therefore P(\Omega )=P((\Omega -A)\cup A)=P(\Omega -A)+P(A)$ （公理3）

\quad\qquad $\because P(\Omega )=1$ (公理1)

\quad\qquad $\therefore 1=P(\Omega -A)+P(A)$

\quad\qquad 交换位置得 $P(\Omega -A)=1-P(A)■$

5. 全概率法则

证明：    \; $\because A_1,\dots ,A_k$ 是一组不相交的事件

\quad\qquad $\therefore P({\bigcup }_i{A}_i)={\sum }_{i}P(A_i)$ （公理3）

\quad\qquad $\because {\bigcup }_{i=1}^k{A}_i=\Omega$

\quad\qquad $\therefore P(\Omega )={\sum }_{i}P(A_i)$

\quad\qquad $\because P(\Omega )=1$ (公理1)

\quad\qquad $\therefore {\sum }_{i}P(A_i)=1■$