刷题记录（NC20313 [SDOI2008]仪仗队）

NC20313 [SDOI2008]仪仗队

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关键点：

1、首先分析题目，对于只能看到的点，设原点坐标为（0，0），则除去横纵坐标上能看到的两点(0, 1)、(1, 0)，和对角线上的(1, 1)，我们能看到的点为（2，3）、（3，5）等等等，对于（10，15）该点必定被（2，3）给挡住。可以发现，对于能看到的点肯定为横纵坐标互质的。

2、这时再来看一半的矩形，即右下角的矩形三角形。其横坐标必定是大于纵坐标的，且对于x = n，其能看到的点必定为与其互质的数，即φ(n)，那么该题就转换成从求欧拉函数的和。

3、对于质数其φ(n) = n-1，然后利用欧拉函数性质

当a,b互质时，φ(ab) = φ(a)φ(b)

就可以利用素数筛法来算欧拉函数值了

4、每次筛素数时，对于当前遍历到的素数与当前数的最小素数值相同时，那么说明该两数不互质，就要利用欧拉函数的定理来计算：

 那么可以发现，该两数的质因子均相同，那么就只有前面的N不同， 则两数相乘的欧拉函数就相差乘一个当前遍历的素数

可以这样假设，当前遍历的素数为x,当前数的最小素数为x,当前数为x*a，则两数就相差乘上一个x,

因此：

if (prime[j] == vis[i])
pi[vis[i]*i] = pi[i]*vis[i];

对于当前遍历的素数和当前数的最小素数没有任何关系的：

pi[i*prime[j]] = pi[prime[j]]*pi[i];

最后将答案乘以2+3

完整代码：

# include 
using namespace std;
const int N = 40010;
int n, cnt;
int prime[N], vis[N], pi[N];
long long ans;
int main()
{
    cin>>n;
    n--;
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            vis[i] = i;
            prime[++cnt] = i;
            pi[i] = i-1;
        }
        for (int j=1; j<=cnt; j++)
        {
            if (prime[j]>vis[i]) break;
            if (i*prime[j]>n) break;
            vis[prime[j]*i] = prime[j];
            if (prime[j] == vis[i])
                pi[vis[i]*i] = pi[i]*vis[i];
            else
                pi[i*prime[j]] = pi[prime[j]]*pi[i];
        }
        ans+=pi[i];
    }
    ans*=2;
    ans+=3;
    cout<
    
    return 0;
}