洛谷千题详解 | P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏【C++、 Java、Python语言】

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 题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

解析： 

C++源码：

Java源码：

Python源码： 

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 题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,j​ 均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×2i，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 mm 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

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输入格式

输入文件包括 n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。

第 2∼n+1 行为 n×m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

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输出格式

输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

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输入输出样例

输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1

82

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解析： 

求n行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）

每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

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C++源码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好 
int n, m;
int ar[MAXN];
 
struct HP {
	int p[505], len;
	HP() {
		memset(p, 0, sizeof p);
		len = 0;
	} //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量 
	void print() {
		printf("%d", p[len]);  
        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {  
            if (p[i] == 0) {
				printf("0000"); 
				continue;
			}
            for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10) 
				printf("0");
            printf("%d", p[i]);
        }
	} //四位压缩的输出 
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;
 
HP operator + (const HP &a, const HP &b) {
	HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;
	for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
		c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
		x = c.p[i] / Mod;
		c.p[i] %= Mod;
	}
	if (x > 0)
		c.p[++c.len] = x;
	return c;
} //高精+高精 
 
HP operator * (const HP &a, const int &b) {
	HP c; c.len = a.len; int x = 0;
	for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
		c.p[i] = a.p[i] * b + x;
		x = c.p[i] / Mod;
		c.p[i] %= Mod;
	}
	while (x > 0)
		c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;
	return c;
} //高精*单精 
 
HP max(const HP &a, const HP &b) {
	if (a.len > b.len)
		return a;
	else if (a.len < b.len)
		return b;
	for (int i = a.len; i > 0; i--)
		if (a.p[i] > b.p[i])
			return a;
		else if (a.p[i] < b.p[i])
			return b;
	return a;
} //比较取最大值 
 
void BaseTwo() {
	base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;
	for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年... 
		base[i] = base[i - 1] * 2;
	}
} //预处理出2的幂 
 
int main(void) {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	BaseTwo();
	while (n--) {
		memset(f, 0, sizeof f);
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			scanf("%d", &ar[i]);
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始 
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]); 
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);
			} //用结构体重载运算符写起来比较自然 
		HP Max;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);
		ans = ans + Max; //记录到总答案中 
	}
	ans.print(); //输出 
	return 0;
}

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Java源码：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
 
public class Main {
	
	static int [] mp = new int[100];
	static BigInteger [] pow = new BigInteger[160];
	
    @SuppressWarnings("resource")
	public static void main(String[] args) {
    	pow[0] = BigInteger.ONE;
    	pow[1] = BigInteger.valueOf(2);
    	for(int i = 2; i < 160; i++) {
    		pow[i] = pow[1].pow(i);
    	}
    	Scanner cin = new Scanner(System.in);
    	BigInteger ans = BigInteger.ZERO;
    	int n=cin.nextInt(), m=cin.nextInt();
    	for(int t = 1; t <= n; t++) {
    		BigInteger [][] f = new BigInteger[100][100];
    		BigInteger max = BigInteger.ZERO;
    		for(int j = 1; j <= m; j++)
    			mp[j]=cin.nextInt();
    		for(int i = 0; i < 100; i++)
    			for(int j = 0; j < 100; j++)
    				f[i][j] = BigInteger.ZERO;
    		for(int i = 1; i <= m; i++)
    			for(int j = m; j > 0; j--) {
    				f[i][j] = f[i][j].max(f[i - 1][j].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i - 1]))));
    				f[i][j] = f[i][j].max(f[i][j + 1].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[j + 1]))));
    			}
    		for(int i = 1; i <= m; i++)
    			max = max.max(f[i][i].add(pow[m].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i]))));
    		ans = ans.add(max);
    	}
    	System.out.println(ans);
    }
}

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Python源码： 

matrix=[]
 
n,m=input().split()
n,m=int(n),int(m)
 
for i in range(n):
    row=input().split()
    row=[0]+[int(count)for count in row]+[0]
    #print(row)
    # 把列表塞到列表里形成二维列表
    matrix.append(row)
 
a=[1]#a[0]=1初始化为1
#求到2^m
for i in range(m):
    a.append(a[i]*2)
    #print(a)
    
ans=0
 
for i in range(n):
    row=matrix[i]
    w=1
    #分配一个大小为m+2 * m+2的二维数组
    dp=[[0]*(m+2)]*(m+2)
    #print(dp)
    for st in range(1,m+1):
        for ed in range(m,0,-1):
            if ed
                continue
            dp[st][ed]=max(dp[st-1][ed]+row[st-1]*a[m-ed+st-1],dp[st][ed+1]+row[ed+1]*a[m-ed+st-1])
            
    ans+=max([dp[i][i]+row[i]*a[m]for i in range(1,m+1)])
    
print(ans)

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