独立任务最优调度问题

问题描述：
用2 台处理机A 和B 处理n 个作业。设第i 个作业交给机器A 处理时需要时间ai ，若由机器B 来处理，则需要时间bi。由于各作业的特点和机器的性能关系，很可能对于某些i， 有ai ≥ bi ，而对于某些j,j≠i，有aj < bj 。既不能将一个作业分开由2 台机器处理，也没有一台机器能同时处理2 个作业。设计一个动态规划算法，使得这2 台机器处理完这n 个作业的时间最短(从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总时间)。研究一个实例：(a1,a2,a3,a4,a5,a6)＝(2,5,7,10,5,2)；(b1,b2,b3,b4,b5,b6)＝(3,8,4,11,3,4) 。

编程任务：
对于给定的2 台处理机A 和B 处理n 个作业，找出一个最优调度方案，使2 台机器处理完这n 个作业的时间最短。

数据输入：
由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是1 个正整数n, 表示要处理n 个作业。接下来的2 行中，每行有n 个正整数，分别表示处理机A 和B 处理第i 个作业需要的处理时间。

结果输出:

程序运行结束时，将计算出的最短处理时间输出到文件output.txt 中。

输入文件示例输出文件示例

input.txt

6

2 5 7 10 5 2

3 8 4 11 3 4

output.txt

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题解：

设dp[i][j]的含义为完成i个任务时，在A机器花费j时间的情况下，B花费的最小时间（第i个任务由谁完成需要具体讨论）

那么就有状态转移方程：

1. 当 j 时，此时A的时间是不够的，任务只能交给B机器，因此 dp[i][j]=dp[i-1][j]+b[i]
2. 当 j>a[i] 时，此时A时间够了，那么就比较这个任务交给谁可以使得B花费的时间更小，因此 dp[i][j]=min(dp[i][j]+b[i],dp[i][j-a[i]])
3. 当 j=a[i] 时，这时A机器的时间恰好是够的，可以得到dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][0])，其实可以看到，dp[i-1][j]+b[i]和dp[i-1][0]本质上并没有什么不同，当因为j=0时，只能交给B机器做，所以这两个比较的意思说到底都是交给B做，因此可以和第一种情况合并

#include 
#include 
using namespace std;
int n, sum = 0 , a[101], b[101], dp[101][101];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= sum; j++) {
            //当j时间内A无法完成，则只能交给B完成
            if (j <= a[i])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + b[i];
            //当j时间内A可以完成，斟酌选A还是选B
            else
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - a[i]], dp[i - 1][j] + b[i]);
        }
    }
    int mmin = 999999997;
    for (int i = 1; i <= sum; i++) {
        int t = max(dp[n][i], i);
        mmin = min(mmin, t);
    }
    cout << mmin;
    return 0;
}
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