代码随想录day42｜背包问题基础｜416. 分割等和子集｜Golang

代码随想录day42

背包问题基础

        这周我们正式开始讲解背包问题！

        背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的pdf。

        但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。

        对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

        至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

        而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

         所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

        leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

        所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

        之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

01 背包

        n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

        这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

        这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

        每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是o(2^n)，这里的n表示物品数量。

        所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例

二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1、确定dp数组以及下标的含义

        对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

         要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

2、确定递推公式

        再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

        那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3、dp数组如何初始化

        关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

        首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

在看其他情况。

        状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

        dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

        那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

        当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

此时dp数组初始化情况如图所示：

        dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

        其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

        初始-1，初始-2，初始100，都可以！

        但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

 最后初始化代码如下：

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

        费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

4、确定遍历顺序

        在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

         那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

        那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
 
    }
}

        先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

例如这样：

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

package main
 
import "fmt"
 
func main() {
	weight := []int{1, 3, 4}
	value := []int{15, 20, 30}
	fmt.Println(bag_problem1(weight, value, 4))
}
 
func bag_problem1(weight, value []int, bagweight int) int {
 
	// 定义dp数组
	dp := make([][]int, len(weight))
	for i, _ := range dp {
		dp[i] = make([]int, bagweight+1)
	}
 
	// 初始化
	for j := weight[0]; j <= bagweight; j++ {
		dp[0][j] = value[0]
	}
 
	// weight数组的大小就是物品的个数
	for i := 1; i < len(weight); i++ {
		for j := 0; j <= bagweight; j++ {
			if j < weight[i] { // 背包剩余容量小于当前i的weight
				dp[i][j] = dp[i-1][j] // 所以当前的最大值还是上一行。
			} else {
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
			}
		}
	}
	return dp[len(weight)-1][bagweight]
}
 
func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

背包理论基础2:

 

 

 

 

 一维dp01背包完整Go测试代码

package main
 
import "fmt"
 
func main() {
	weight := []int{1, 3, 4}
	value := []int{15, 20, 30}
	fmt.Println(test_1_wei_bag_problem(weight, value, 4))
}
 
func test_1_wei_bag_problem(weight, value []int, bagWeight int) int {
 
	// 定义dp数组
	// 默认初始化为0了
	dp := make([]int, bagWeight+1)
 
	// 递推顺序
	for i := 0; i < len(weight); i++ {
		// 这里必须倒序,区别二维,因为二维dp保存了i的状态
		for j := bagWeight; j >= weight[i]; j-- {
			// 递推公式
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
		}
	}
	//fmt.Println(dp)
	return dp[bagWeight]
}
 
func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

416. 分割等和子集

 

 

 

func canPartition(nums []int) bool {    
    sum := 0
    for _, v := range nums {
        sum += v 
    }
    if sum % 2 != 0 {
        return false
    }
    target := sum / 2 
    dp := make([]int, target + 1)
    for i:=0;i<len(nums);i++{
        for j:=target;j>=nums[i];j--{
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i])
        }
    }
    return dp[target] == target
}
func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a 
    }
    return b 
}