【数一】【概率论与数理统计】

1. 概率论

1.1. 古典概率论

1.1.1. 基础概念

1、随机试验
满足以下 $3$ 个条件的试验，称为随机试验，简称试验：

1. 相同条件下可重复
2. 结果不唯一且可知
3. 结果事先不可确定

2、随机事件
试验的结果称为随机事件，简称事件，用大写字母表示。

• 必然事件：试验中必然发生的事件，记为 $\Omega$
• 不可能事件：试验中必然不发生的事件，记为 $\text{Ø}$

3、样本空间
试验的每一个可能结果，称为样本点，记为 $\omega$
样本点的全体集合，称为样本空间，记为 $\Omega$，即 Ω = { ω } \varOmega=\{\omega\} Ω={ω}
一个样本点称为一个基本事件
随机事件由若干基本事件组成

1.1.2. 事件关系与运算法则

1、关系

• 包含：若事件 $A$ 发生必导致事件 $B$ 发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$，记为 $A\subset B$
• 相等：$(A\subset B)\wedge (B\subset A)\iff (A=B)$
• 相容：$A\cap B\ne \text{Ø}$
• 互斥：$A\cap B=\text{Ø}$
• 对立：$(A\cap B=\text{Ø})\wedge (A\cup B=\Omega )$

差事件： 称 “事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生” 的事件为差事件，记为 $A-B$
逆事件： 称 “事件 $A$ 不发生” 的事件，为事件 $A$ 的逆事件，记为 $\overline{A}$

2、运算法则

• 吸收律：$(A\subset B)\iff (A\cup B=B)\wedge (A\cap B=A)$
• 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$，$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$，$A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$
• 对偶律：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$，$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

1.1.3. 概率的定义

1、描述性定义
略

2、统计性定义
用频率表示概率，记为 $p=\frac{k}{n}$，其中 $k$ 表示若干次试验中事件 $A$ 发生的次数，$n$ 表示试验的次数

3、公理化定义
设试验的样本空间为 $\Omega$，若对任意事件 $A$ 都有一个确定的实数 $P(A)$，且事件函数 $P(\cdot )$ 满足：

1. 非负性：$P(A)⩾0$
2. 规范性：$P(\Omega )=1$
3. 可列可加性：$P(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$

则称 $P(\cdot )$ 为概率，$P(A)$ 为事件 $A$ 的概率
注： 概率的公理化定义，是近代概率论理论系统的基础

1.1.4. 古典概型

性质

1. 有限性
2. 等可能性

基本公式
$P(A)=\frac{k}{n}$

方法

1. 列举法：适用范围：基本事件（样本点）数量较少
2. 集合对应法：
   • 2.1. 加法原理： $\sum _{i=1}^n{m}_i$，$n$ 类方法，每类 $m$ 种方法
   • 2.2. 乘法原理： $\prod _{i=1}^n{m}_i$，$n$$m$
   • 2.3. 排列： $P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$，从 $n$ 个不同样本点中取出 $m$ 个样本点，考虑样本点的位序
   • 2.4. 组合： $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，从 $n$ 个不同样本点中取出 $m$ 个样本点，不考虑样本点的位序

注： 逆数法：直接求 $P(A)$ 不容易的时候，可以逆向思维，求 $1-P(\overline{A})$。常常用于求带有 “至少”、“至多” 的事件概率

1.1.5. 几何概型

性质

1. 可度量性：样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的有界区域
2. 等可能性：每个样本点发生的可能性都一样

基本公式
P ( A ) = A 的几何度量 Ω  的几何度量 ， A = { 样本点落入区域 A } ， S A ⊂ Ω P(A)=\dfrac{A的几何度量}{\varOmega\ 的几何度量}，A=\{样本点落入区域A\}，S_A \sub \varOmega P(A)=Ω 的几何度量A的几何度量​，A={样本点落入区域A}，SA​⊂Ω

1.1.6. 概率的基本性质和公式

1、性质

1. 有界性：$\forall A\Rightarrow 0⩽P(A)⩽1$，
   $P(\text{Ø})=0$，$P(\Omega )=1$
2. 单调性：$A\subset B\Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)\iff P(A)⩽P(B)$

公式

1. 求逆公式：$$P(\overline{A})=1-P(A)$$
2. 加法公式：$$P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1{A}_2)$$
   $P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1{A}_2)-P(A_1{A}_3)-P(A_2{A}_3)+P(A_1{A}_2{A}_3)$
3. 减法公式：$$P(A_1-A_2)=P(A_1)-P(A_1{A}_2)=P(A_1\overline{A_2})$$
4. 条件概率公式：$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},P(A)>0$$
5. 乘法公式：$$P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)>0$$
6. 全概率公式：
   $$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$ $\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega$，$A_i{A}_j=\text{Ø}(i\ne j;i,j=1,2,\dots ,n)$，$P(A_i)>0$，$B=\bigcup _{i=1}^n{A}_{i}B$
7. 贝叶斯公式：$$P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)},(j=1,2,\dots ,n)$$
   $\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega$，$A_i{A}_j=\text{Ø}(i\ne j;i,j=1,2,\dots ,n)$，$P(A_i)>0$，$P(B)>0$

1.1.7. 独立性

1、事件的独立性

1. 直观性定义：设 $A、B$ 为两个事件，若其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立
2. 公式化定义：若 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

$A、B、C$ 两两独立
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ \\ P(AC)=P(A)P(C)\\ \\ P(BC)=P(B)P(C)\end{array}$$

$A、B、C$ 相互独立
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ \\ P(AC)=P(A)P(C)\\ \\ P(BC)=P(B)P(C)\\ \\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$

1.2. 近代概率论

1.2.1. 随机变量

1.2.1.1. 一维随机变量

1.2.1.2. 二维随机变量

1.2.2. 数字特征

2. 数理统计