2022.11.1 固体物理

Drude Model

原子由原子核和核外电子组成

我们首先看一下不同材料的自由电子密度

 知道原子数目基本就知道了核外电子的数目

如果是单位体积内的，知道密度，我们就可以知道质量，根据摩尔质量和阿伏伽德罗常数，我们就可以知道原子的数目

本征硅的电子密度 1012−1014" role="presentation" style="position: relative;">1012−1014${10}^{12}-{10}^{14}$

中型掺杂 1014−1016" role="presentation" style="position: relative;">1014−1016${10}^{14}-{10}^{16}$

重型掺杂 1016−1018" role="presentation" style="position: relative;">1016−1018${10}^{16}-{10}^{18}$

再往后面掺杂，硅的晶格容易散（我们需要用implant技术，能量非常大的质子轰击，把硅原子给打掉）

加了电压之后，受到电场和热运动的共同影响

价电子是离域的，可以自由运动

还有一个假设，potential 之间没有overlap，把金属看作不可移动的原子核部分和可以自由移动的电子部分

德鲁德电子模型的假设

1.绝对的自由电子气，电子之间没有碰撞，但是电子可以和原子核进行碰撞，还是一种弹性碰撞

只从牛顿的运动角度出发，不从电学作用出发

2.碰撞被认为是及时的一个事情，没有delay碰撞时间的这么一个碰撞，可以给我们力学的分析带来方便，我们称作一种散射行为

3.life timeτ" role="presentation" style="position: relative;">τ$\tau$ 最大的自由时间，1τ" role="presentation" style="position: relative;">1τ$\frac{1}{\tau }$，单位时间碰撞的概率，碰撞的概率随时间是一个exponential的分布，所以这是非常强的三个假设

他所认为的图像还是比较简单的

4.电子的运动方向是四面八方的，所以平均速度是0

 第一个条件总结为独立电子自由电子假设

第二个条件总结为顺势碰撞假设

第三个条件是碰撞几率假设

第四个条件是能量均衡定理

关于金属的导电性，大家肯定都知道欧姆定律

 我们在固体物理里面，就想进一步看一看电阻率ρ" role="presentation" style="position: relative;">ρ$\rho$和什么有关系？

当然是和材料有关，反映出材料的导电性

电流密度J，对欧姆定律进行简单变形，可以引出电流密度这么一个概念。

 电压除以长度就是电场，电流除以截面积就是电流密度

J→=σE→" role="presentation" style="position: relative;">J⃗ =σE⃗ $\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$，这样子我们就引出了电流密度这么一个概念，电流密度反映的是单位时间内穿过某一个单位平面的电荷数

这些都是我们根据欧姆定律来的，我们就可以找到电流密度的这么一个概念，电流密度我们可以写做什么呢？

J→=σE→=−n⋅e⋅v→" role="presentation" style="position: relative;">J⃗ =σE⃗ =−n⋅e⋅v⃗ $\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}=-n\cdot e\cdot \overrightarrow{v}$

n就是立方米中电子的数目，e就是元电荷，最后我们得出的单位就是/s /m2" role="presentation" style="position: relative;">/s /m2$/s/m^2$

这样子的话电流密度就和材料本身联系起来了，也和它后面电荷运动的快慢联系起来了

这样的话，我们就可以从更微观的角度，来理解我们的电流，如果说欧姆定律来讲是一个比较宏观的量，但是我们想看的更仔细一点，我们就需要这样的变形，往里面去看

就是宏观到微观的一个转化

没有外界作用的情况下，电子作随机运动，没有倾向的方向，所以速度为0，current density也等于0

我们后面还可以看一下，每个电荷所占据的体积是多少，这个也是一个比较有意思的量，每个电荷所占据的体积

 我们就可以知道每一个电子所占据的平均体积，如果用球来形容的话，我们会算出一个半径来，这个半径我们称之为玻尔半径

如果我的自由电子密度越大，这个玻尔半径就越小

 玻尔半径是a0,是从轨道量子化的角度得到的

r0的比较对象就是a0，氢原子轨道的核外半径大概是0.5埃，r0大概是a0的2-3倍，最大可以达到十倍

 电子受到电场力，还有一项是一个比较有意思的项，它是一个冲量的概念，作用在正电荷上，mev→=fτ" role="presentation" style="position: relative;">mev⃗ =fτ$m_e\overrightarrow{v}=f\tau$，它不是一个瞬时值，是一个平均值

我们下面就需要解这个方程，然后进行变换

 Vd对应的就是drift 漂移时候

随着电压增加，就会渐渐趋向于drift velocity，都会受到电场的作用，不会受到热运动的影响

电子在电子中运动的方向和电场的方向相反

 

 我们可以把相对宏观的东西，进行微观的分析

不同的材料电导率受到各个方向的影响

 我可以写出这么一个张量

张量分析是矩阵分析法的一种拓展，线性代数的高级形式

接触的第一个是介电常数，也是各向异性的，电场或者是光场，在这么一个地方传播，就需要进行张量分析

 大概存在一个飞秒 fs