交比不变性证明

$$\frac{AC}{BC}/\frac{AD}{BD}为四个有序点的交比，求证\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}=\frac{ac\cdot bd}{bc\cdot ad}。$$
借助三角形的面积证明。
世界坐标中：
$$\begin{gathered} S_{\Delta PAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot H=\frac{1}{2}\cdot PA\cdot PC\cdot \sin \angle APC \\ \Rightarrow AC=\frac{PA\cdot PC}{H}\cdot \sin \angle APC \\ {S}_{\Delta PBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot H=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot PC\cdot \sin \angle BPC \\ \Rightarrow BC=\frac{PB\cdot PC}{H}\cdot \sin \angle BPC \\ {S}_{\Delta PBD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot H=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot PD\cdot \sin \angle BPD \\ \Rightarrow BD=\frac{PB\cdot PD}{H}\cdot \sin \angle BPD \\ {S}_{\Delta PAD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot H=\frac{1}{2}\cdot PA\cdot PD\cdot \sin \angle APD \\ \Rightarrow AD=\frac{PA\cdot PD}{H}\cdot \sin \angle APD \end{gathered}$$
A C ⋅ B D B C ⋅ A D = P A ⋅ P B ⋅ P C ⋅ P D H 2 ⋅ sin ⁡ ∠ A P C ⋅ sin ⁡ ∠ B P D P A ⋅ P B ⋅ P C ⋅ P D H 2 ⋅ sin ⁡ ∠ B P C ⋅ sin ⁡ ∠ A P D = sin ⁡ ∠ A P C ⋅ sin ⁡ ∠ B P D sin ⁡ ∠ B P C ⋅ sin ⁡ ∠ A P D

BC⋅ADAC⋅BD​​=H2PA⋅PB⋅PC⋅PD​⋅sin∠BPC⋅sin∠APDH2PA⋅PB⋅PC⋅PD​⋅sin∠APC⋅sin∠BPD​=sin∠BPC⋅sin∠APDsin∠APC⋅sin∠BPD​​

像素坐标中：
$$\begin{gathered} S_{\Delta Pac}=\frac{1}{2}\cdot ac\cdot h=\frac{1}{2}\cdot Pa\cdot Pc\cdot \sin \angle aPc \\ \Rightarrow ac=\frac{Pa\cdot Pc}{h}\cdot \sin \angle aPc \\ {S}_{\Delta Pbc}=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot h=\frac{1}{2}\cdot Pb\cdot Pc\cdot \sin \angle bPc \\ \Rightarrow bc=\frac{Pb\cdot Pc}{h}\cdot \sin \angle bPc \\ {S}_{\Delta Pbd}=\frac{1}{2}\cdot bd\cdot h=\frac{1}{2}\cdot Pb\cdot Pd\cdot \sin \angle bPd \\ \Rightarrow bd=\frac{Pb\cdot Pd}{h}\cdot \sin \angle bPd \\ {S}_{\Delta Pad}=\frac{1}{2}\cdot ad\cdot h=\frac{1}{2}\cdot Pa\cdot Pd\cdot \sin \angle aPd \\ \Rightarrow ad=\frac{Pa\cdot Pd}{h}\cdot \sin \angle aPd \end{gathered}$$
a c ⋅ b d b c ⋅ a d = P a ⋅ P b ⋅ P c ⋅ P d h 2 ⋅ sin ⁡ ∠ a P c ⋅ sin ⁡ ∠ b P d P a ⋅ P b ⋅ P c ⋅ P d h 2 ⋅ sin ⁡ ∠ b P c ⋅ sin ⁡ ∠ a P d = sin ⁡ ∠ a P c ⋅ sin ⁡ ∠ b P d sin ⁡ ∠ b P c ⋅ sin ⁡ ∠ a P d

bc⋅adac⋅bd​​=h2Pa⋅Pb⋅Pc⋅Pd​⋅sin∠bPc⋅sin∠aPdh2Pa⋅Pb⋅Pc⋅Pd​⋅sin∠aPc⋅sin∠bPd​=sin∠bPc⋅sin∠aPdsin∠aPc⋅sin∠bPd​​
$$\begin{array}{rl}\because \sin \angle APC& =\sin \angle aPc\\ \sin \angle BPD& =\sin \angle bPd\\ \sin \angle BPC& =\sin \angle bPc\\ \sin \angle APD& =\sin \angle aPd\\ \therefore \frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}& =\frac{ac\cdot bd}{bc\cdot ad}\end{array}$$

工业镜头
参考文献
工业镜头是运用于工业自动化领域的摄像或摄影镜头，主要作用是进行光学成像。

工业镜头是机器视觉中必不可少的核心基础硬件，对成像的质量有关键影响。可以分为fa镜头（也有称CCTV镜头）、变倍镜头（有手动也有自动）、远心镜头（一般有物方远心和双远心）等。

基础参数
1.工作距离WD：指镜头下端到物体表面的距离。

机器视觉光学系统所需要的空间，不仅要考虑相机镜头组本身的长度，还要留下镜头的工作距离。如果空间无法满足这两者之和，应该立即考虑棱镜改变工作方向，或是重新定制光学系统。

2.焦距：镜头到成像面的距离。

3.景深DOF：镜头能够看清的纵深范围。

景深与焦距的关系是：焦距越长，景深越小；焦距越短，景深越大。

景深与工作距离的关系是：工作距离越短，镜头离物体越近，景深越小，反之则越大。

4.视野FOV：指镜头能够看到的最大范围。简单来说就是镜头能够正常进行检测工作的区域。

对于大面积检测，选择大视野的镜头能够显著地节省检测成本。但是选择时也要兼具分辨率，大视野很容易发生视野边缘灰度值不足的情况，一定要找专业光学定制！