【线性代数】P3 行列式按行展开&异乘变零定理

余子式

将元素所在行与所在列去除剩余的“子式”，记为 $M_{ij}$，即去除第 $i$ 行与第 $j$ 列。

$e.g.$ 有行列式如下，求 $M_{12}$ 与 $M_{23}$

代数余子式

在余子式的基础上加上符号，记为 $A_{ij}$；

$e.g.$ 有行列式如下，求 $A_{12}$ 与 $A_{23}$

行列式按行展开

行列式的值等于任意一行/列元素与其对应的代数余子式乘积之和。

$e.g.$ 行列式按行展开

所以行列式按行展开公式为：
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$$

其中 $a_{i1}$ 为元素部分，$A_{i1}$ 为该元素的代数余子式。

所以行列式按列展开公式为：
$$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}$$

其中 $a_{1j}$ 为元素部分，$A_{1j}$ 为该元素的代数余子式。

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行列式按行展开技巧

选择0最多的行或列展开：

原理就是因为0乘以什么都等于0。

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异乘变零定理

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0。与行列式按行展开不一样的在于，行列式的按行展开为某行元素与本行自己的代数余子式成绩之和等于行列式的值。

$e.g.$ 有余子式如下：

异乘：用第四行元素与第一行元素的代数余子式相乘得到D’：

我们先不求其值，更改行列式D的第一行，使得满足新行列式B=0，有：

求行列式B的值，使用代数余子式求值进行展开：

可以发现B的展开与D’的展开相同，所以D’=B=0，异乘变零定理得证。

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以上便是行列式按行展开部分笔记，下一节内容为拉普拉斯定理等。
2022.10.31