图形渲染技术-目标变换

目标变换

在世界坐标系中一个目标的变换有很多种，基础的变换有三种：平移旋转和缩放。这三种变换顺序不一样，结果不一样。一般的顺序为：平移T,渲染R,缩放S. $M=T\ast R\ast S$ 如果一个顶点的局部坐标为$v(x,y,z,1)$,乘以M就变为世界坐标。这些知识点都较为简单，下面要说的是鼠标拖动一个目标移动时，我们如何对目标进行旋转平移和缩放。
假设 鼠标在窗口中移动前后的坐标为$p_1(x,y)p_2(x,y)$,目标的长宽分别为$w,h$。目标在世界坐标系中的位置为$c(x,y,z)$
平移
第一步 将窗口坐标转为视口坐标（窗口视口大小相同时）
$$p_v(x,y)=(x,h-y)$$
其中h为视口的高度,xy为窗口坐标。
第二步 将视口坐标转为世界坐标
$$p_w(x,y,z)=F^{-1}\ast V^{-1}\ast P^{-1}\ast p_v$$
第三步 计算在世界坐标系中鼠标移动的偏移量
$$offse{t}_w=p_{w2}-p_{w1}$$
第四步 平移
$$c_{new}=c+offse{t}_w$$
最后平移一般情况下根据平移量更新平移矩阵，$T->T_{new}$
$$c_{new}=T_{new}\ast R\ast S$$
缩放
缩放比较麻烦，首先计算缩放比例，然后还需区分，绕顶点缩放还是绕中心点缩放。
第一步计算缩放比
直接指定，简单不赘述。这里主要描述下鼠标拖动某个锚点进行缩放。
做法如下：
比如拖动锚点$A$，此时需要找到他对面的点$A^{{}^{\prime }}$，左下角的对面的点就是右上角，左边中间的点就是右边中间的点。
假设$A$移动后的坐标为$p_a$,$A^{{}^{\prime }}$移动后的坐标为$p_{a^{{}^{\prime }}}$
重点来了，将他们转为局部坐标系，转为局部坐标系不是简单的乘以世界变换矩阵的逆，而是要去除缩放矩阵。
$$\begin{gathered} p_a^L=R^{-1}\ast T^{-1}\ast p_a \\ {p}_{a^{{}^{\prime }}}^L=R^{-1}\ast T^{-1}\ast p_{a^{{}^{\prime }}} \end{gathered}$$
此时计算缩放比
$$\begin{gathered} scal{e}_x=abs(p_a^L.x-p_{a^{{}^{\prime }}}^L.x)/w \\ scal{e}_y=abs(p_a^L.y-p_{a^{{}^{\prime }}}^L.y)/h \end{gathered}$$
第二步 如果是指定点，还需要进行平移缩放平移的操作。
如果指定点是$tac{k}_w(x,y,z)$ 此时需要将他转为局部坐标。
$$tac{k}_l(x,y,z)=S^{-1}\ast R^{-1}\ast T^{-1}\ast tac{k}_w(x,y,z)$$
注意：此时计算局部坐标时，计算了缩放矩阵的逆。
缩放矩阵计算如下：
$$S=T_1\ast S_n\ast T_2$$
其中$T_1为-tac{k}_l(x,y,z)平移矩阵，T_2为tac{k}_l(x,y,z)平移矩阵S_n为单位矩阵进行了(scal{e}_x,scal{e}_y,1.0)的缩放$

如果在子空间中进行变换，平移时还需要考虑除以父空间的缩放比。

旋转
旋转相对简单，一般目标的旋转都绕中心点旋转，如果绕固定点旋转，和缩放一样，先平移，再旋转，后平移