【线性代数】P1 行列式基本概念

二阶三阶行列式

二阶行列式

二阶行列式：两行两列，四个元素，用 $a_{ij}$ 表示，其中 $i$ 表示行标，$j$ 表示列标。
左上角到右下角为主对角线，左下角到右上角为次对角线；
行列式的值为主对角线上的值相乘减去次对角线相乘的值。

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三阶行列式

三阶行列式：三行三列，九个元素，表示为：

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排列与逆序数

排列

排列：由 $1,2,3,...,n$ 组成的一个有序数组叫做 $n$ 级排列。
$e.g.$
$1245$ 不为排列，缺少数$3$；
$312$为一个三级排列；
$n$级排列共有 $n!$ 种排列方法。

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逆序

逆序：大数排在小数的前面，$e.g.$ 比如 $312$ 中 $3$ 排在 $1$ 前面，$3$ 排在 $2$ 前面，构成逆序；

逆序数：逆序的个数，$e.g.$ 在 $312$ 中，存在两个逆序，所以逆序数为 $N(312)=2$。
$e.g.$ $N(n(n-1)...321)=\frac{n(n-1)}{2}$

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奇排列与偶排列

若逆序数为偶数，则为偶排列；若逆序数为奇数，则为奇排列。

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自然排列/标准排列

$N(\mathrm{123...}n)=0$ 为标准排列，又称为自然排列。

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对换

交换排列中两个数的位置，称为一次对换。
$e.g.$ 排列 $54123$ 一次对换后 $54213$；对换的两个数可以任意不同位置对换。

性质：一个排列经过一次对换，奇偶性改变。
$e.g.$ $N(54123)=4+3+0+0+0=7$ 一次对换后 $N(51423)=4+0+2+0+0=6$，从奇排列变为偶排列。

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n阶行列式

按行展开

按行展开：行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出3个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定的。

$e.g.$ 三阶行列式按行展开

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按列展开

按列展开：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘。符号由行标排列的奇偶性决定的。
$$D=\sum _{i_1{i}_2...i_n}(-1{)}^{N(i_1{i}_2...i_n)}{a}_{i_{1}1}{a}_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$$

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既不按行也不按列展开

从不同行不同列取出，具有通用性。
$$D=\sum (-1{)}^{N(i_1{i}_2...i_n)+N(j_1{j}_2...j_n)}{a}_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}...a_{i_n{j}_n}$$
$e.g.$ $(-1{)}^{N(i21m)+N(1k32)}{a}_{i1}{a}_{2k}{a}_{13}{a}_{m2}$，求 $i,k,m$ 的值
由排列性质得：$k=4$ 且 $i=3,m=4$ 或 $i=4,m=3$

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上三角与下三角行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角形行列式

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以上内容为线性代数第一部分行列式的基本概念
下一节内容为：行列式的性质
2022.10.29 星期六