Unity边缘检测的数学原理和shader实现

最近一直研究基于灰度的边缘检测，搜索了好多博客文章，发现没有对Sobel算子解释的非常清晰明了的，对于我这种数学控，细节控，实在是无法忍受，所以索性自己查阅数学资料，研究一番，花了一周时间终于搞清楚了所有的困惑，分享给大家。这篇文章非常长，分成3个部分：实现原理，代码部分，数学部分，大家可以根据需要查看，如果能从头到尾啃完，相信一定有巨大收获！由于我不想把所有数学公式再打一遍了，所以直接上图了，请谅解

目录

1.实现原理

1-1.边缘检测的原理

1-2.像素的梯度

1-3.思路总结

 1-4.像素的梯度

 1-5. 曼哈顿距离(Manhattan Distance ）

2.Shader实现

2-1.思路

 2-2.C#部分

2-3.Shader部分

3.数学部分

a.导数定义

 b.线性近似

c.两个变量时的近似

d.两个变量的链式求导

 e.方向导数

 f.梯度（Gradient）

 g.梯度的坐标系变换

 4.参考文献

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1.实现原理

1-1.边缘检测的原理

图像由像素点组成的，在像素点的灰度变化剧烈的地方就可以被当作是边缘.

a.比较灰度

       像素点一般来说可以有三种颜色表示，RGB，单独比较任何以中颜色，都不能表达图像某区域的变化.所以要比较灰度.

b.单像素点的最大变化值

每个像素点的灰度变化，是和周围像素点比较的结果，而且这个比较是有方向的.  某个方向也许变化不大，另一个方向变化或许很大.  必须选取变化最大的一个方向的数值，这个数值才有资格代表这个像素点的变化率. 从数学角度来说，灰度在某个方向的变化率，其实就是灰度在某个方向上的方向导数.  那么哪个方向的方向导数最大呢，是梯度的方向（注意，梯度是个向量），并且这个最大方向导数的绝对值，也就是最大的变化率的绝对值，等于梯度的模.

c.选出边缘

每个像素点的最大变化率都求出后，我们可以根据自己设定的阈值，进行筛选，得到最终的边缘.或者是按照这个变化率绝对值的大小，按照比例绘制粗细不同，颜色深浅不同的边缘轮廓.

1-2.像素的梯度

具体的梯度公式和方向导数的推导证明请参考最后的“数学部分”，此处我们直接开始讨论像素的梯度计算.