14天阅读挑战赛
努力是为了不平庸~
数据结构+算法=程序。 数据结构是程序的骨架,算法是程序的灵魂。
斐波那契数列可以用兔子数列来理解。
首先假设第一个月有一对初生兔子,第二个月进入成熟期,第三个月开始生育兔子,并兔子永不死去,它们按照下列的方式繁衍:
依此类推。
可以明显的看到:当月的兔子数=上个月兔子数+上上个月兔子数。
所以,不难看出,斐波那契数列是这样的:
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
21
,
34
,
55
,
.
.
.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
递归表达就是:
F
(
n
)
=
{
1
,
n
=
1
1
,
n
=
2
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
,
n
>
2
F(n)=\left\{
设计递归算法实现斐波那契数列。
int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
测试代码:
#include
#include
int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
int main(int argc,char **argv)
{
int n = 6;
if (argc > 1)
n = atoi(argv[1]);
printf("n= %d, Fibonacci: %d\n", n, Fibonacci(n));
return 0;
}
执行结果:
$ ./Fibonacci
n= 6, Fibonacci: 8
$ ./Fibonacci 10
n= 10, Fibonacci: 55
用
T
(
n
)
T(n)
T(n)表示Fibonacci(n)所需的基本操作次数,则:
n=1时,T(n)=1。
n=2时,T(n)=1。
n=3时,T(n)=3;调用Fib1(2)和Fib1(1)并执行一次加法运算(Fib1(2)+Fib1(1))。
因此,n>2时,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1。它们的关系为:
F
(
n
)
=
{
1
,
n
=
1
T
(
n
)
=
1
1
,
n
=
2
T
(
n
)
=
1
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
,
n
>
2
T
(
n
)
=
T
(
n
−
1
)
+
T
(
n
−
2
)
+
1
F(n)=\left\{
由此可知:
T
(
n
)
≥
F
(
n
)
T(n) \geq F(n)
T(n)≥F(n)。
斐波那契数列的通项公式:
这里可以看到,时间复杂度属于爆炸增量函数。
int Fibonacci_1(int n) {
int *F = new int[n + 1];//定义一个长度为n+1的数组,空间尚未使用
F[1] = 1;
F[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++)
F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
return F[n];
}
这时,时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。时间复杂度降下来了,算法效率有了重大突破,但是空间复杂度上去了。
上述算法优化使用了一个辅助数组记录中间结果,空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n);其实只需要第n个斐波那契数,中间结果只是为了下一次使用,不需要保存。所以,可以采用迭代法进行算法优化:
int Fibonacci_2(int n){
if(n==1||n==2)
return 1;
int f1=1;
int fs2=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
int tmp=f1+f2;
f1=f2;
f2=tmp;
}
return f2;
}
使用三个辅助变量进行迭代,时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),但是空间复杂度降为 O ( 1 ) O(1) O(1)。
随着n趋向无穷大,斐波那契数列中前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割数0.618。
1 1 = 1 , 1 2 = 0.5 , 2 3 = 0.666 , 3 5 = 0.625 , . . . . . . , 463681 75025 = 0.6180339886 \frac{1}{1}=1,\frac{1}{2}=0.5,\frac{2}{3}=0.666,\frac{3}{5}=0.625,......,\frac{463681}{75025}=0.6180339886 11=1,21=0.5,32=0.666,53=0.625,......,75025463681=0.6180339886。