本博客参考:
m
a
x
z
=
8
x
1
−
2
x
2
+
3
x
3
−
x
4
−
2
x
5
{
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
≤
400
x
1
+
2
x
2
+
2
x
3
+
x
4
+
6
x
5
≤
800
2
x
1
+
x
2
+
6
x
3
≤
200
x
3
+
x
4
+
5
5
≤
200
0
≤
x
i
≤
99
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
x
5
≥
−
10
max \ z=8x_1-2x_2+3x_3-x_4-2x_5\\ \left\{
from scipy.optimize import linprog
c=[-8,2,-3,1,2]
A=[[1,1,1,1,1],[1,2,2,1,6],[2,1,6,0,0],[0,0,1,1,5]]
b=[[400],[800],[200],[200]]
aeq=None
beq=None
bounds=((0, 99),(0, 99),(0, 99),(0, 99),(-10,None))
res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=aeq, b_eq=beq, bounds=bounds,)
运行结果
从中我们看出,目标函数z的最大值应为823左右,此时决策变量 x 1 − x 5 x_1-x_5 x1−x5的值分别为[99,0,0.3,0,-10]
一家加工厂使用牛奶生产A,B两种奶制品,1桶牛奶经甲机器加工12小时得到3kgA,也可以经过乙机器8小时得到4kgB,根据市场需求,生产的A、B可以全部出售并且每kgA获利24元、每kgB获利16元。现在该工厂每天获得50桶牛奶供应,所有工人的最大劳动时间之和为480x小时,甲机器每天最多加工100kgA,乙机器加工不限量,请你为该工厂设计生产计划,使得每天的利润最大
假设每天用于生产A产品的牛奶为 x 1 x_1 x1桶,用于生产B产品的牛奶为 x 2 x_2 x2桶,每天的利润为 z z z元,根据题意建立数学模型
m
a
x
z
=
3
∗
24
x
1
+
4
∗
16
x
2
{
x
1
+
x
2
≤
50
12
x
1
+
8
x
2
≤
800
3
x
1
≤
100
x
1
≥
0
,
x
2
≥
0
max \ z=3*24x_1+4*16x_2\\ \left\{
转化为标准形式
m
i
n
z
=
−
3
∗
24
x
1
−
4
∗
16
x
2
{
x
1
+
x
2
≤
50
12
x
1
+
8
x
2
≤
800
3
x
1
≤
100
x
1
≥
0
,
x
2
≥
0
min \ z=-3*24x_1-4*16x_2\\ \left\{
from scipy.optimize import linprog
c=[-72,-64]
A=[[1,1],[12,8]]
b=[[50],[480]]
bounds=((0,100/3.0),(0,None))
res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=None, b_eq=None, bounds=bounds)
运行结果
从上面我们可以看出,利润最大值在3360元左右,达到最大值时,A、B产品的牛奶日用量分别是20桶、30桶
某加工厂加工一种油,原料为五种油(植物油1,植物油2、非植物油1,非植物油2、非植物油3),每种油的价格、硬度如图表所示,最终生产的成品将以150英镑/吨
植物油1 | 植物油2 | 非植物油1 | 非植物油2 | 非植物油3 | |
---|---|---|---|---|---|
进货价格 | 110 | 120 | 130 | 110 | 115 |
硬度值 | 8.8 | 6.1 | 2.0 | 4.2 | 5.0 |
每个月能够提炼的植物油不超过200吨、非植物油不超过250吨,假设提炼过程中油料没有损失,提炼费用忽略不计,并且最终的产品的硬度需要在(3-6)之间(假设硬度的混合时线性的)。根据以上信息,请你为加工厂指定月采购和加工计划
假设 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 x1,x2,x3,x4,x5分别为每月需要采购的原料油吨数, x 6 x_6 x6为每个月加工的成品油吨数,根据题意建立数学模型
m
a
x
z
=
−
110
x
1
−
120
x
2
−
130
x
3
−
110
x
4
−
115
x
5
+
150
x
6
{
x
1
+
x
2
≤
200
x
3
+
x
4
+
x
5
≤
250
8.8
x
1
+
6.1
x
2
+
2.0
x
3
+
4.2
x
4
+
5.0
x
5
≤
6
x
6
8.8
x
1
+
6.1
x
2
+
2.0
x
3
+
4.2
x
4
+
5.0
x
5
≥
3
x
6
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
=
x
6
x
i
≥
0
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
6
max \ z=-110x_1-120x_2-130x_3-110x_4-115x_5+150x_6\\ \left\{
from scipy.optimize import linprog
c=[110,120,130,110,115,-150]
A=[[1,1,0,0,0,0],[0,0,1,1,1,0],[8.8,6.1,2.0,4.2,5.0,-6],[-8.8,-6.1,-2.0,-4.2,-5.0,3]]
b=[[200],[250],[0],[0]]
aeq=[[1,1,1,1,1,-1]]
beq=[[0]]
bounds=((0, None),(0, None),(0, None),(0, None),(0,None),(0,450))
# bounds=((0, None),(0, None),(0, None),(0, None),(0,None),(0,None))
res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=aeq, b_eq=beq, bounds=bounds)
运行结果
从上面我们可以看到,五种原料油的采购量分别为[159.25,40.7407,0,250,0](吨),此时总利润可以达到最大,约为17592英镑/月
笔者发现的一个没有用的小技巧:我们知道 x 6 x_6 x6变量代表的是每个月的吨数,bounds参数设置决策变量的取值区间,当在bounds中对x_6的上界不加限制时,即(0,None),模型返回的结果中仍然将 x 6 x_6 x6收敛至450,你知道这是为什么吗?
经过这么多的应用,我们已经大致明白了scipy.optimize.linprog()
函数的使用过程,也惊叹于它的便利之处,但是不知道你是否能发现该函数的缺点?
我们来看下面一个问题
某零售商从钢管厂进货后将钢管切割后卖给客户,某次进货该零售商得到了若干1850mm长的原料钢管。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm、30根455mm的钢管。对于一个原料钢管有四种切割模式,每次切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品),为减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。(要完成该客户的需求,需要若干根原料钢管,可能用到四种切割模式,现规定使用频率最多的切割模式按照一根原料钢管价格的1/10收取加工费,使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价格的2/10收取加工费,依次类推)。现在求使得该零售商总费用最小的切割计划?
仔细分析我们会发现,这个问题的线性规划和上面的两个实际问题有很大不同。
在上面的问题中,决策变量只有一种 x 1 − x n x_1-x_n x1−xn,而且决策变量的系数的都是常数(比如 x 3 + x 4 + x 5 ≤ 250 x_3+x_4+x_5\leq250 x3+x4+x5≤250中的每个自变量系数都是1)。但是在该问题中似乎有两种决策变量:切割模式的使用频次 x i x_i xi、每种切割模式下对于一根原料钢管产生的成品钢管种类及数量 r i j r_{ij} rij(i表示第i种切割模式,j表示第j种成品钢管)。
这就让我们在列举约束条件时遇到了很大的困难,比如其中一个不等式是这样的
∑
i
=
1
4
x
i
×
r
1
i
≥
15
(
i
=
1...4
)
\sum^4_{i=1}x_i\times r_{1i}\geq15(i=1...4)
∑i=14xi×r1i≥15(i=1...4),看到这里我们发现两个决策变量相乘,如果继续使用scipy.optimize.linprog()
函数,参数A_ub怎么取?参数bounds到底该以谁作为决策变量?
现在我们似乎遇到了困难,实际上并不是linprog()函数的问题,因为函数就是用来求解线性规划问题的,而我们现在提出的这个问题是一个非线性规划问题,所以,要解决它我们需要“另辟蹊径”了!下一个博客我们将用另外一个第三方库解决这个问题