数学知识——求组合数

组合数

概念

1. 定义：
   组合数公式是指从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
2. 公式 ：
   $C_n^r=\frac{n!}{r!\ast (n-r)!}=\frac{n\ast (n-1)\ast ....\ast (n-r+1)}{r!}$

一般情况(无模数)

例题

输入 $a,b，求C_b^a$ 的值。
输入格式
共一行，包含两个整数 a 和 b。

输出格式
共一行，输出 $C_b^a$ 的值。

数据范围
1≤b≤a≤5000
输入样例：
5 3
输出样例：
10

a, b = map(int, input().split())
j = a
res = 1
for i in range(1, b + 1) :
	res *= j
	res //= i
	j -= 1
print(res)
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查询数目很大时，计算的组合数很小

$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

例题

给定 n 组询问，每组询问给定两个整数 a，b，请你输出 $C_b^{a}mod(10^9+7)$ 的值。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a 和 b。

输出格式
共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤b≤a≤2000
输入样例：
3
3 1
5 3
2 2
输出样例：
3
10
1

N = 2010
MOD = int(1e9) + 7

C = [[0] * N for _ in range(N)]
def init() :
	for i in range(N) :
		for j in range(N) :
			if j == 0 :
				C[i][j] = 1
			else :
				C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD 
n = int(input())
init()
for i in range(n) :
	a, b = map(int, input().split())
	print(C[a][b])
1
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3
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查询数目相对较大，且计算的组合数较大

$C_n^r=\frac{n!}{r!\ast (n-r)!}$

例题

给定 n 组询问，每组询问给定两个整数 a，b，请你输出 $C_b^{a}mod(10^9+7)$ 的值。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a 和 b。

输出格式
共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围
1≤n≤10000,
$1\le b\le a\le 10^5$
输入样例：
3
3 1
5 3
2 2
输出样例：
3
10
1

N = 100010
MOD = int(1e9) + 7

fact = [1] * N
infact = [1] * N

def qmi(a, k, p) :
	res = 1
	while k :
		if k & 1 :
			res = res * a % p
		k >>= 1
		a = a * a % p
	return res

def init() :
	for i in range(1, N) :
		fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD
		infact[i] = infact[i - 1] * qmi(i, MOD - 2, MOD) % MOD
init()
n = int(input())
for i in range(n) :
	a, b = map(int, input().split())
	print(fact[a] * infact[b] % MOD * infact[a - b] % MOD)
1
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查询数目很少，但计算组合数很大

卢卡斯定理

1. 说明：
   $Lucas定理是用来求c(n,m)modp，p为素数的值。$
   2.形式：
   $当n>p或者m>p时使用：$
   $C_n^m\equiv C_{n\%p}^{m\%p}\ast C_{n/p}^{m/p}(modp)$

例题

给定 n 组询问，每组询问给定三个整数 a,b,p，其中 p 是质数，请你输出 $C_b^{a}modp$ 的值。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a,b,p。

输出格式
共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围
1≤n≤20,
$1\le b\le a\le 10^{18}$,
1≤p≤105,

输入样例：
3
5 3 7
3 1 5
6 4 13
输出样例：
3
3
2

def qmi(a, k, p) :
	res = 1
	while k :
		if k & 1 :
			res = res * a % p
		k >>= 1
		a = a * a % p
	return res

def C(a, b, p) :
	if b > a :
		return 0
	res = 1
	j = a
	for i in range(1, b + 1) :
		res = res * j % p
		res = res * qmi(i, p - 2, p) % p
	return res

def lucas(a, b, p) :###运用卢卡斯定理时，一定要保证a < p and b < p，不然可能会存在a或者b等于p的情况是结果出错
	if a < p and b < p :
		return C(a, b, p)
	return C(a % p, b % p, p) * lucas(a // p, b // p, p) % p
n = int(input())
for i in range(n) :
	a, b, p = map(int, input().split())
	print(lucas(a, b, p) % p)	
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卡特兰数

1. 公式：
   $f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^n/(n+1)$
   说明：所有从(0, 0)抵达(n, n)的路径 - 一定经过红线的路径（对终点求关于红线的对称点）

例题

给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。

输出的答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围
$1\le n\le 10^5$
输入样例：
3
输出样例：
5

MOD = int(1e9) + 7

n = int(input())

def qmi(a, k) :
    res = 1
    while k :
        if k & 1 :
            res = res * a % MOD
        a = a * a % MOD
        k >>= 1
    return res

def C(a, b) :
    if a < b :
        return 0
    res = 1
    j = a
    for i in range(1, b + 1) :
        res = res * j % MOD
        res = res * qmi(i, MOD - 2) % MOD
        j -= 1
    # for i in range(a, a - b, -1) : res = res * i % MOD
    # for i in range(1, b + 1) : res = res * qmi(i, MOD - 2) % MOD
    return res
        

a, b= 2 * n, n

print(C(a, b) * qmi(n + 1, MOD - 2) % MOD)
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总结

组合数相对简单，但不同的输入范围我们要选取不同的方法，其中涉及了预处理，动态规划，快速幂，以及组合数定义与性质的一系列问题