神经网络的正则化

  神经网络在训练集中的损失值很低，但在测试集中的损失却很大，这就是过拟合（overfitting）现象。过拟合时，神经网络对于特定的特征数据表现极佳，但对于大多数数据表现很差，即模型的泛化性（generalization）差。

  在上图中我们可以看到，黄线非常好的拟合了我们给出的样本点，但看起来没有那么合理。蓝线尽管没有完全拟合上样本点，但似乎看起来就是我们要找的预测线。我们假设蓝线就是正确的预测线，那么黄线就是一种过拟合现象。解决过拟合的方法主要有三种（出自吴恩达《机器学习》2022 版）：

• 增加样本数量。如果我们给出更多的样本点，那么就可以把上图中的黄线逐渐拉向蓝线。
• 去除不必要的特征，防止其对预测结果产生较大的干扰。比如我们做一个房价预测，显然不需要把明天会不会下雨这个特征引入。
• 正则化（regularization）。这也是本文主要论述的内容。

  正则化目前主流的方法有：参数惩罚、Dropout等。接下来将分别对其进行论述。

参数惩罚

  再次回到上文中的图片，我们为什么会觉得图中蓝线更合理呢？这是因为我们下意识地遵循了奥卡姆剃刀原理（Occam’s Razor），换成中国话来说就是避繁就简（西方人真麻烦，就一个词还得搞个原理）。当一个问题有多种解决办法时，我们选择其中最简单地一个，而往往简单的办法在现实中泛化性最好。参数惩罚就是遵循了奥卡姆剃刀原理，即让神经网络中那些无关紧要的权重值变为零或使其趋向于零，这也就相当于在网络中去除了那条对应的通路。参数惩罚最终目的就是得到一个符合训练集的最简单的网络。其概念公式如下：
$$\tilde{\ell }=\ell +\kappa \cdot R\left(W^{[1]},W^{[2]},\cdots ,W^{[a]}\right)$$  其中 $\ell$ 为损失值，$\tilde{\ell }$ 为新的损失值，$R$ 是正则化函数，$W^{[l]}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，$\kappa$ 是常量参数（常取值为 $0.01$）。原损失值在式中被称为损失项；在损失值中新加入的这部分被称为正则项，它也将参与损失值求梯度的过程。这样权重在反向传播的过程中，不单单得到是原损失值对其的偏导，还有正则项对其的偏导。其中正则项就起到惩罚的作用，它会促使所有权重值向零靠近。这是读者可能有疑问：它对所有的权重进行惩罚，那最后所有的权重不都变成零了？对于网络中那些重要的权重施加惩罚，必然会导致网络的预测结果不理想，那么损失项的值就会上升，损失项的偏导又会把它拉回原来的位置。而对于那些不重要的权重施加惩罚，则不会导致损失值的上升，也就没有被拉回原值的机会，最终就会逐渐向零靠近。

L2 正则化

  L2 正则化（L2 regularization）即正则函数中使用了 L2 范数（L2 norm）。正则函数的表达式如下：
$$R=\frac{1}{2}\sum _{l=1}^a{{\Vert W^{[l]}\Vert }_2}^2$$  通过上式我们可以得出：对于某权重 $w$，正则项对其偏导数为 $\kappa w$。通过这一点我们可以推理出 L2 正则化的特点是会让不必要的权重靠近零而不是等于零。如下图所示：

  $w$ 是以每次 $-\kappa w$ 的递减方式向零靠近，但同时 $\kappa w$ 也在不断减小，最终 $w$ 会无限趋近于零。在下文中我们将与 L1 正则化进行对比，进一步论述 L2 正则化的特点。

L1 正则化

  与 L2 正则化类似，L1 正则化中使用了 L1 范数。L1 正则函数的表达式如下：
$$R=\sum _{l=1}^a{\Vert W^{[l]}\Vert }_1$$  通过上式我们可以得出：对于某权重 $w$，正则项对其偏导数为 $\kappa$。通过这一点我们可以推理出 L1 正则化的特点是会让不必要的权重等于零。如下图：

  $w$ 是以每次 $-\kappa$ 的递减方式向零靠近，每次的步长相同，最终会使之等于零。接下来我们对 L2 正则化与 L1 正则化进行对比。对比总共有以下几点：

• 计算效率。L2 正则化中的函数是全域可导的，而 L1 正则化中的函数含有绝对值，相比之下 L2 正则化求导计算效率更高。（不必深究，这可能牵涉到自动求导的相关理论）
• 稀疏性。稀疏性是指一个矩阵或向量中只有少数元素是非零的。前面提到 L1 正则化会将大部分非必要的权重值置零，L2 正则化会将大部分非必要的权重值无限接近零。所以使用 L1 正则化的网络的预测结果稀疏性较强。

Dropout

  Alex Krizhevsky 在2012年提出了 AlexNet 神经网络，在该网络中首次应用了 Dropout 技术来缓解过拟合现象。AlexNet 也赢得了 2012 ImageNet 竞赛冠军。文章《Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors》第一次对该技术进行了介绍。另一篇文章《Dropout: A Simple Way to Prevent Neural Networks from Overfitting》对该技术进行了更为详尽的介绍。笔者参考以上两篇文章完成了本章节的内容。
  在论述之前，我们先讲一些其它的技术以便能更好的理解 Dropout 的思想。集成学习是机器学习的一种范式。在集成学习中，我们会同时训练多个模型（被称为弱模型）来解决同一个问题。在应用时，所有弱模型会同时作出预测，而后将所有预测结果组合成一个结果。集成学习相比单一模型会有更准确的预测结果和更高的鲁棒性。
  引导聚集（Bootstrap aggregating, Bagging）算法是集成学习的一种。该算法首先从训练集中有放回的抽取多个子训练集，而后用这些子训练集分别训练一个神经网络。而后在应用时，让所有网络对同一个特征同时作出预测，最后选取所有预测结果中占比最高的一个作为最终结果（假设网络是一个分类模型）。实验结果表明，Bagging 算法能够有效抑制过拟合现象。我们从一个直观的角度来解释 Bagging 抑制过拟合的原因。训练过程中，各个网络都会产生过拟合，而由于训练数据集不同，各个网络过拟合的方向会有不同。在最终的对预测结果进行组合的时候，各网络的过拟合会被相互抵消一部分，从而使整体显示出抑制过拟合的效果。
  Bagging 算法有抑制过拟合的优势，但训练成本、模型的复杂度极高。因此 Dropout 的作者想在单一网络中实现类似集成学习的方式，这样就可以克服 Bagging 的缺点。Dropout 的大体思想是，在每次训练时各神经元都会以一定的概率被剔除出本次训练，这样对于每次训练的网络，其结构都不尽相同；在应用时，神经元将不会再被剔除，全体神经元都将参与预测。通过以上方式，Dropout 也就将单一网络改造成了类似集成学习的结构，以 “多个网络” 参与训练，而以 “多个网络” 的叠加形态参与应用。
  Dropout 在一定程度上也打破了神经元之间相互的依赖关系，使各个神经元能够更好的发挥自己的能力，而不是依赖其它神经元。从这个角度看，网络也就拥有了更高的鲁棒性。

  加入 Dropout 的神经元结构如上图所示。接下来，我们通过公式对其进行具体解释。设激活函数的输出值为 $y$；设最终输出结果为 $\tilde{y}$；设神经元参与训练不被剔除的概率为 $p$；记 $\mathrm{Bernounlli}(p)$ 为随机函数，其特性是以 $p$ 的概率输出 $1$，以 $1-p$ 的概率输出 $0$。那么，加入 Dropout 后的计算公式如下：
$$\tilde{y}=\frac{y\cdot \mathrm{Bernounlli}(p)}{p}$$  接下来对以上公式进行解释。当 $\mathrm{Bernounlli}(p)$ 输出 $0$ 时，有 $\tilde{y}=0$ 和 $\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}y}=0$，则 $\frac{\partial l}{\partial y}=\frac{\partial l}{\partial \tilde{y}}\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}y}=0$，则损失值 $l$ 对于该神经元内所有可训练参数的偏导数值都将为 $0$，这也就意味着所有可训练参数得不到更新（不考虑优化器提供的动量）。此时，该神经元正向传播时输出了 $0$，反向传播时其所有可训练参数没有得到更新，即该神经元没有参与训练。相应的当 $\mathrm{Bernounlli}(p)$ 输出 $1$ 时，神经元即参与训练。因此该神经元以 $p$ 的概率参加训练，以 $1-p$ 的概率不参加训练。
  至于为何要除以 $p$，原因如下：由于加入了概率， $y\cdot \mathrm{Bernounlli}(p)$ 符合 0-1 分布，其数学期望为 $\mathbb{E}\left(y\cdot \mathrm{Bernounlli}(p)\right)=p\cdot y$ 。我们知道在结束训练后，神经网路应用时不会再有神经元被剔除，那时该神经元输出值的数学期望为 $y$ 。因此为了保持训练时和应用时该神经元输出值的数学期望保持一致，就需要在训练时除以 $p$，即 $\mathbb{E}\left(\frac{y\cdot \mathrm{Bernounlli}(p)}{p}\right)=y$。当然，你也可以在应用时将输出值乘以 $p$ 来使数学期望保持一致，实际上这也是最原始的 Dropout 的做法。但现在不推荐这么做，因为通过上文我们了解到 Dropout 其实就是一种在神经网路训练时应用的一种方法，所以我们应当把所有有关 Dropout 的操作都集中到训练阶段，而不是将其分散开。

附录

  以下为生成过拟合示意图的代码。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def f1(x):
    return x**2


def f2(x):
    a, b, c, d, e = -3.804788961038961, 1, 6.662608225108225,  -3.2467532467532467,  0.38893398268398266
    return a * x + b * x**2 + c * x**3 + d * x**4 + e * x**5


x = np.array([-0.5, 0.8, 3.1, 5.02])
y = f2(x)

ax = plt.gca()
ax.scatter(x, y, color='black', label='sample points')

x = np.linspace(-1, 5.2, 100)
y = f1(x)
ax.plot(x, y, label='just right')

y = f2(x)
ax.plot(x, y, label='overfit')

ax.legend()
plt.show()
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  以下为生成 L2 正则化中使用到的图的代码。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(0, 2, 100)
y = x**2

ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, label='$y=x^2$')

x = 1.9
xa = [x]
for _ in range(0, 10):
    x = x - 0.3*x
    xa.append(x)

ya = [x**2 for x in xa]

ax.plot(xa, ya, 'o:', label='Descending path of $x$')

ax.legend()
plt.show()
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  以下为生成 L1 正则化中使用到的图的代码。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 2, 100)
y = abs(x)

ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, label='$y=|x|$')

x = 1.8
xa = [x]
for _ in range(0, 6):
    x = x - 0.3
    xa.append(x)

ya = [x for x in xa]

ax.plot(xa, ya, 'o:', label='Descending path of $x$')

ax.legend()
plt.show()
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