单源赋权最短路径

单源赋权最短路径
单源赋权最短路径指给定一个赋权图 $G=(V,E)$ 和一个输入顶点 $s$ ，从 $s$ 出发到图中其他顶点的最短路径就称为单源赋权最短路径。

Djkstra算法：

解决单源赋权最短路径问题的一般方法叫作Djkstra算法（迪杰斯特拉算法）。迪杰斯特拉算法是一种贪婪算法，它是分阶段进行的，在每个阶段都认为选择是最好的。迪杰斯特拉算法只能解决非负权值的最短路径问题。

在该方法中，图中的每个顶点保留与无权最短路径中同样的信息。known表示是否该顶点是否已知，d表示该顶点到输入顶点的距离，path表示引起该顶点距离变化的最后一个顶点，在顶点 $v$ 的邻接表中，除了要保存邻接顶点的编号外，还要额外保存该顶点到其邻接顶点的边的权值dvw。

迪杰斯特拉算法正是基于这些信息来实现的。首先我们选择d最小的未知顶点 $v$ ，因为这是我们在这个阶段所能做的最好选择，而且事实上，从输入顶点 $s$ 开始，首先找到其邻接顶点并改变邻接顶点的d，并标记 $s$ 为已知，接下来从d最小的未知顶点 $v$ 开始，显然这个未知顶点的最小距离就是d，因为从 $s$ 开始，不论从任何其他顶点回到 $v$ ，都需要经过 $(s,v)$ 以外的边，显然这会导致距离大于d，所以每当我们选择到d最小的未知顶点时，它的最短距离就是d，并且我们可以将它标记为已知。接下来，我们考察 $v$ 的未知邻接顶点。当顶点 $v$ 的距离d加上其与邻接顶点之间边的权值dvw小于邻接顶点当前的距离d时，就更新邻接顶点的d，并改变邻接顶点的path，重复上述操作直到所有顶点都变为已知，就解决了单源赋权最短路径问题。

以下图为例，选择输入顶点 $s$ 为 $v_{1}$ ，通过表格来说明Djkstra算法的具体过程，首先将图中顶点（除 $v_{1}$ 外）的距离d都设置为inf（无穷），显然 $v_{1}$ 的距离d为0.

$v$ Known d path
$v_{1}$ 0 0 -1
$v_{2}$ 0 inf -1
$v_{3}$ 0 inf -1
$v_{4}$ 0 inf -1
$v_{5}$ 0 inf -1
$v_{6}$ 0 inf -1
$v_{7}$ 0 inf -1

下一步，将 $v_{1}$ 标记为已知（用 * 表示），并处理 $v_{1}$ 的邻接顶点：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 0 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 0 inf -1
$v_{4}$ 0 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 0 inf -1
$v_{6}$ 0 inf -1
$v_{7}$ 0 inf -1

下一步，找到d最小的未知顶点 $v_{4}$ ，做和 $v_{1}$ 相同的处理：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 0 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 0 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 0 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 0 9 $v_{4}$
$v_{7}$ 0 5 $v_{4}$

接下来处理 $v_{2}$ ，在处理邻接顶点时， $v_{4}$ 已知，不做处理，处理 $v_{5}$ 时，因为 $v_{5}$ 当前的d=3，而 $v_{2}$ 的d=2，再加上dvw=10，所以 $v_{5}$ 的d保持不变，path也保持不变。

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 1 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 0 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 0 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 0 9 $v_{4}$
$v_{7}$ 0 5 $v_{4}$

接下来处理 $v_{3}$ ，同 $v_{2}$ 的处理方法一样，显然 $v_{6}$ 的d和path需要更新：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 1 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 0 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 0 8 $v_{3}$
$v_{7}$ 0 5 $v_{4}$

下一步，处理 $v_{5}$ ：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 1 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 0 8 $v_{3}$
$v_{7}$ 0 5 $v_{4}$

下一步处理 $v_{7}$ ：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 1 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 0 8 $v_{7}$
$v_{7}$ 1 5 $v_{4}$

最后处理 $v_{6}$ ：

$v$ Known d path
$v_{1}$ 1 0 -1
$v_{2}$ 1 2 $v_{1}$
$v_{3}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{4}$ 1 1 $v_{1}$
$v_{5}$ 1 3 $v_{4}$
$v_{6}$ 1 6 $v_{7}$
$v_{7}$ 1 5 $v_{4}$

到此就得到了所有顶点的赋权最短路径。

代码实现：
```
void Djkstra(g* p) {
	int min, dmin;
	for (;;) {
		dmin = inf;
		int i;
		for (i = 0; i < 7; i++) {//找到d最小的未知顶点
			if (p->v[i]->known == 0 && p->v[i]->d < dmin) {
				dmin = p->v[i]->d;
				min = i;
			}
		}
		if (dmin == inf) {//dmin没有改变说明要么所有顶点都是已知，要么虽然有的顶点未知，但是从输入顶点出发不能到达，这两种情况都应该退出循环
			break;
		}
		p->v[min]->known = 1;
		l* tmp = p->v[min]->next;
		while (tmp != NULL) {//处理min顶点的邻接顶点
			if (p->v[tmp->val]->known == 0) {
				if (p->v[min]->d + tmp->dvw < p->v[tmp->val]->d) {
					p->v[tmp->val]->d = p->v[min]->d + tmp->dvw;
					p->v[tmp->val]->path = min;
				}
			}
			tmp = tmp->next;
		}
	}
}
```
显然，Djkstra算法包含两层for循环，所以它的时间复杂度为 $O(|V|^2)$ 。

Djkstra算法能够处理没有负边的赋权最短路径问题，但是它并不能解决有负边的最短路径问题，这是因为Djkstra算法对已知的顶点不会再做处理，但是有负边时，已知的顶点有可能邻接于其之后处理的顶点，而从这个顶点返回已知顶点的路径更短，这个时候Djkstra算法就不能正确的更新d以及path。

带有负值边的赋权最短路径：

一种处理具有负边图的办法是：给所有边都加上一个常数C，使得所有边都变为正值，这种方法看似可行，实际上那些具有较多边的路径的权重会大于那些较少边的路径，即使之前它们之间的关系不是这样。

另一种方法是：将赋权和无权的方法结合起来，但是舍弃掉Known这个信息。这种方法使用一个队列来存放将要处理的顶点，首先将 $s$ 入队，当队列不为空时，队头顶点出队，然后对该顶点的邻接顶点的信息进行更新，并将更新过且不在队列中的顶点入队，重复操作直到队列为空。这个算法基于这样一个事实，如果存在负边，那么所有顶点当前的d都不一定是最小的，那么它们可能仍然需要被更新，所以当处理完当前顶点后，如果该顶点的邻接顶点信息被改变，那么该邻接顶点的邻接顶点信息也要被改变。

但是如果负值边指向的顶点能够到达图中的任何一个其他顶点（如图），那么这种方法就可能陷入死循环，这个时候就必须设置终止条件，这个条件可以是在任意顶点已经出队 $|V|+1$ 次后。在图中，每个顶点的最小d实际上应该是负无穷（如果一直循环下去）。但如果将-10改为-2或是-1，那么这条边又会变得没有意义，因为经过这条边到达 $v_{2}$ 并不会比 $v_{2}$ 本来的d更小。实际上可以总结为，如果能通过负边减小d的顶点，就可以通过不断地经过负边来使它的d越来越小，而不能通过负边改变d的顶点，它们的信息也就与没有负边时相同。并且在现实生活中，负的权值是很少见的，我们一般处理的权值，比如价格、距离、时间等因素，都是非负的。

使用队列的赋权最短路径算法：
```
void WeightedNegative(g* p) {
	q* pq = CreatQueue();//建立队列
	enqueue(pq, 0);//将输入顶点s入队
	p->v[0]->known = 1;//将该顶点标记为已在队列中
	while (!isempty(pq)) {//当队列不为空时
		int n = dequeue(pq);//出队
		p->v[n]->known = 0;//将出队顶点标记为不在队中
		if (p->v[n]->dequeuenum == 8)//循环结束条件
			break;
		p->v[n]->dequeuenum++;//出队后，出队次数+1
		l* tmp = p->v[n]->next;
		while (tmp != NULL) {//对出队顶点的邻接顶点更新，如果邻接顶点更新了就入队
			if (p->v[n]->d + tmp->dvw < p->v[tmp->val]->d) {
				p->v[tmp->val]->d = p->v[n]->d + tmp->dvw;
				p->v[tmp->val]->path = n;
				if (p->v[tmp->val]->known == 0) {
					enqueue(pq, tmp->val);
					p->v[tmp->val]->known = 1;
				}
			}
			tmp = tmp->next;
		}
	}
}
```
运行结果：

将循环结束条件改为 $p->v[n]->dequeuenum == 80$ ：

将循环结束条件改为 $p->v[n]->dequeuenum == 100000$ ：

将图中的-10改为-2，运行结果为：

可以看到此时的运行结果和没有负边的结果是相同的。

图的建立和测试代码：
```
#define inf 99999999
 
//图
typedef struct list {//邻接表
	int val;
	int dvw;
	struct list* next;
}l;
 
typedef struct table {//图中顶点的信息
	int known;
	int d;
	int path;
	int dequeuenum;
	l* next;//指向邻接表的指针
}t;
 
typedef struct graph {//指向定点信息的指针
	t* v[7];
}g;
 
g* CreatGraph() {
	g* pg = (g*)malloc(sizeof(g));
	for (int i = 0; i < 7; i++) {
		t* p = (t*)malloc(sizeof(t));
		p->next = NULL;
		p->d = inf;
		p->known = 0;
		p->path = -1;
		p->dequeuenum = 0;
		pg->v[i] = p;
	}
 
	l* p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 1;
	p->dvw = 2;
	p->next = pg->v[0]->next;
	pg->v[0]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 3;
	p->dvw = 1;
	p->next = pg->v[0]->next;
	pg->v[0]->next = p;
 
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 3;
	p->dvw = 3;
	p->next = pg->v[1]->next;
	pg->v[1]->next = p;
	/*p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 4;
	p->dvw = 10;
	p->next = pg->v[1]->next;
	pg->v[1]->next = p;*/
 
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 0;
	p->dvw = 4;
	p->next = pg->v[2]->next;
	pg->v[2]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 5;
	p->dvw = 5;
	p->next = pg->v[2]->next;
	pg->v[2]->next = p;
 
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 2;
	p->dvw = 2;
	p->next = pg->v[3]->next;
	pg->v[3]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 4;
	p->dvw = 2;
	p->next = pg->v[3]->next;
	pg->v[3]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 5;
	p->dvw = 8;
	p->next = pg->v[3]->next;
	pg->v[3]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 6;
	p->dvw = 4;
	p->next = pg->v[3]->next;
	pg->v[3]->next = p;
 
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 6;
	p->dvw = 6;
	p->next = pg->v[4]->next;
	pg->v[4]->next = p;
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 1;
	p->dvw = -10;
	p->next = pg->v[4]->next;
	pg->v[4]->next = p;
 
	p = (l*)malloc(sizeof(l));
	p->val = 5;
	p->dvw = 1;
	p->next = pg->v[6]->next;
	pg->v[6]->next = p;
 
	return pg;
}
 
//队列
typedef struct queue {
	int arr[50];
	int front;
	int rear;
	int num;
}q;
 
int dequeue(q* p) {
	p->num--;
	return p->arr[p->front++ % 50];
}
 
void enqueue(q* p, int x) {
	p->num++;
	p->arr[(++p->rear) % 50] = x;
}
 
q* CreatQueue() {
	q* p = (q*)malloc(sizeof(q));
	p->front = 0;
	p->rear = -1;
	p->num = 0;
	return p;
}
 
int isempty(q* p) {
	return p->num == 0;
}
 
//打印函数
void print(g* p) {
	for (int i = 0; i < 7; i++) {
		printf("v%d     path = v%d     know = %d     distance = %d\n", i + 1, p->v[i]->path + 1, p->v[i]->known, p->v[i]->d);
	}
}
 
//测试函数
int main() {
 
	g* pg = CreatGraph();
 
	pg->v[0]->d = 0;
 
	WeightedNegative(pg);
 
	print(pg);
 
	return 0;
}
```
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原文地址：https://blog.csdn.net/thdwx/article/details/127442385

$v$	Known	d	path
$v_{1}$	0	0	-1
$v_{2}$	0	inf	-1
$v_{3}$	0	inf	-1
$v_{4}$	0	inf	-1
$v_{5}$	0	inf	-1
$v_{6}$	0	inf	-1
$v_{7}$	0	inf	-1

Djkstra算法：

带有负值边的赋权最短路径：

图的建立和测试代码：