CF比赛1610D. Not Quite Lee(Codeforces Global Round 17)(数学)(计数)

给出一个序列的数字，$a_i$表示要选择一串$a_i$个连续数字。问有多少个子序列，满足这些连续数字和为0。

题目传送门

正解：

从等差数列求和来考虑。长度$a_i$是给定的，但开始位置是待定的，记为$s_i$。

这一串数字的和为$s_i\ast a_i+\frac{1}{2}(a_i-1)\ast a_i$，可以看作$a_i\ast (s_i+\frac{1}{2}{a}_i-\frac{1}{2})$。

由于$s_i$的任意性，不妨设$k\in \mathbb{Z}$，

对于$a_i$是奇数，可以化为$a_i\ast k$。

对于$a_i$是偶数，只能化成$a_i\ast (k+\frac{1}{2})$。

目标是子序列的数和为$0$。

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可以发现，只要出现了一个奇数，这个子序列一定是满足条件的。

所有问题可以拆分成：存在奇数的子序列，纯偶数的子序列。

前者是好解决的，$(2^{奇数个数}-1)\ast 2^{偶数个数}$。减一是除去了一个奇数不选的情况。

后者也可以解决。先确定一个最小偶数为$a_i$后，那剩的一个$\frac{1}{2}$的消除方式只能让偶数个这样的数加起来。

这样的方案数是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor n/2\rfloor \ast 2}\right)$，也就是偶数项相加，无论$n$是奇还是偶，和是固定的$2^{n-1}-1$。减一是去掉了$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)$。

所有相加即可。

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我的错误解(闲人免进)：

我也想到了纯偶数情况下和为$(\frac{1}{2}+k)a_i$，想着找到$\sum \frac{1}{2}{a}_i=0$的情况。这东西很难求，错就错在没有划分讨论。先确定最小偶数为xx，那方案数就可以逐步求解了。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;

ll qkpow(ll a, ll n)
{
	ll ret = 1;
	while(n)
	{
		if(n & 1) ret = ret * a % mod;
		a = a * a % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ret;
}

ll bin[N], fac[N], ifac[N];

void init()
{
	bin[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++) bin[i] = (bin[i - 1] << 1) % mod;
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	ifac[N - 1] = qkpow(fac[N - 1], mod - 2);
	for(int i = N - 2; i >= 0; i--) ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1);
}

int count(int x)
{
	int ret = 0;
	while((x & 1) == 0 && x) ret++, x >>= 1; // debug x & 1 == 0  (x)
	return ret;
}

int n, a[N], cnt[100];

void solve()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		cnt[count(a[i])]++;
	}
	int rest= n - cnt[0];
	ll ans = (bin[cnt[0]] - 1) * bin[rest] % mod;
	for(int i = 1; i <= 35; i++)
	{
		if(!cnt[i]) continue; // debug
		rest -= cnt[i];
		ll tmp = (bin[cnt[i] - 1] - 1) * bin[rest] % mod;
		ans = (ans + tmp) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

signed main()
{
	int T = 1;
//	scanf("%d", &T);
	init();
	while(T--) solve();
} 
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