PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度

PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度

• 进一步分为:

  • 连续型随机变量(基础阶段讨论)

    • 例如,电视机的使用寿命

  • 奇异型随机变量

分布函数

• 和离散型随机变量不同,连续型随机变量可以充满某个区间

• 分布律的形式无法描述这类随机变量的取值的统计规律性

• 为了统一研究各种类型的随机变量,引入分布函数的概念

  • Distribution function 分布函数

• $设X是一个随机变量,x是任意实数$

  • 记函数 F ( x ) = P ( {   X ⩽ x   } ) 记函数F(x)=P(\set{X\leqslant x}) 记函数F(x)=P({X⩽x})
    • $定义域:-\infty <x<+\infty$
    • 值域:$F(x)\in [0,1]$
  • $称X服从于F(x),记为X\sim F(x)$
    • 记 D = {   X ⩽ x   } 记D=\set{X\leqslant x} 记D={X⩽x}
      • $其中D表示事件:X⩽x$
      • $即,它是一个试验样本点集合$
      • 参数(变量)类型就是概率函数P的参数类型
  • 🎈$如果为了同时强调随机变量X,和自变量实数x,那么可以写作$
    • F ( X , x ) = P ( {   X ⩽ x   } ) F(X,x)=P(\set{X\leqslant x}) F(X,x)=P({X⩽x})
    • 可以称,F为随机变量X的分布函数

分布函数的性质

基本性质

• 任何随机变量X都有分布函数

• 函数F(x)成为某个随机变量X的分布函数的条件:

• 值域:

  • $F(x)\in [0,1]$

• 极限:

  • $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$

    • $可以记为F(-\infty )=0$

  • $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$

    • $可以记为F(+\infty )=1$

• 单调性:

  • $F(x)$是单调非减的函数:
    • $x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)⩽F(x_2)$
    • 因为 , 事件 {   X ⩽ x 1   } ⊂ {   X ⩽ x 2   } 因为,事件\set{X\leqslant x_1}\sub \set{X\leqslant x_2} 因为,事件{X⩽x1​}⊂{X⩽x2​}
      • P ( {   X ⩽ x 1   } ) ⩽ P ( {   X ⩽ x 2   } ) P(\set{X\leqslant x_1})\leqslant P(\set{X\leqslant x_2}) P({X⩽x1​})⩽P({X⩽x2​})
      • F ( x 1 ) = P ( {   X ⩽ x 1   } ) F(x_1)=P(\set{X\leqslant x_1}) F(x1​)=P({X⩽x1​})
      • F ( x 2 ) = P ( {   X ⩽ x 2   } ) F(x_2)=P(\set{X\leqslant x_2}) F(x2​)=P({X⩽x2​})
      • $所以F(x_1)⩽F(x_2)$

高级性质

• 指证明需要高级知识的性质,包括以下几条:

右连续性:

• $F(x)是右连续的$

  • 🎈即,如果$x在x=k$处的某个邻域$U=U(k,\delta )$ 有定义,存在右极限

  • $$\underset{x\to k^{+}}{\lim }F(x)=F(k)$$

  • 比如:$F(x+0)=F(x)$

• 例如:

  • F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 A x 2 + B , 0 < x ⩽ 1 1 x > 1 F(x)=

    {0,x⩽0Ax2+B,0<x⩽11x>1" role="presentation">⎧⎩⎨0,Ax2+B,1x⩽00<x⩽1x>1$$\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ A{x}^2+B,& 0<x⩽1\\ 1& x>1\end{array}$$
    F(x)=⎩ ⎨ ⎧​0,Ax2+B,1​x⩽00<x⩽1x>1​

    • 上面这个分布函数的分段定义涵盖了实数区间R

    • 利用右连续性求解A,B

      • $由于F(x)在x=0处和x=1处均有定义$

      • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=F(0)$

        • $B=0$

      • $\underset{x\to 1+}{\lim }F(x)=F(1)$

        • A+B=1

      • 即:A=1,B=0

概率区间:

• 对于 ∀ x 1 < x 2 ; P ( {   x 1 < x ⩽ x 2   } ) = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) \forall x_1∀x1​<x2​;P({x1​<x⩽x2​})=F(x2​)−F(x1​)

• 有分布函数可以确定随机变量在某一个区间内的取值概率

  • X取值落在某一个区间的概率,用这个性质求解是方便的
  • 🎈注意左开右闭区间才可以直接套用

• 对于任意的 x , P ( {   X = x   } ) = F ( x ) − F ( x − 0 ) 对于任意的x,P(\set{X=x})=F(x)-F(x-0) 对于任意的x,P({X=x})=F(x)−F(x−0)

• 例:

  • 对于分布函数

    • F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 x 2 , 0 < x ⩽ 1 1 x > 1 F(x)=

      {0,x⩽0x2,0<x⩽11x>1" role="presentation">⎧⎩⎨0,x2,1x⩽00<x⩽1x>1$$\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ x^2,& 0<x⩽1\\ 1& x>1\end{array}$$
      F(x)=⎩ ⎨ ⎧​0,x2,1​x⩽00<x⩽1x>1​

    • $$P(0.2<x⩽0.8)=F(0.8)-F(0.2)=0.6$$

从分布律求对应的分布函数

• 一般的,对于随机变量X的为:

  • $P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$

  • $$\begin{gathered} F(x)=P(X⩽x)=\sum _{x_k⩽x}P(X=x_k)=\sum _{x⩽x}{p}_k \\ 其中p_k=P(X=x_k) \\ 这种转换得到的是一个跳跃性的函数F(x),跳跃点分布在x=x_k处 \\ 而且跳跃的高度为p_k \end{gathered}$$

  • 显然,离散型随机变量的函数不是连续函数

    • 它们一般为阶梯函数

🎈连续型随机变量

概率密度函数

• 设随机变量X的分布函数是F(x)

• 如果存在一个**非负可积函数$f(x),使得任意x\in R$**有

  • $$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

  • $X是连续性随机变量$

  • $f(x)是随机变量X的概率密度函数$,检查密度函数(密度)

  • $F(x)是f(x)的积分上限函数$

性质

非负性

• $对于任意x\in R,f(x)⩾0$

规范性:

• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$

$概率P,F(x)和f(x)之间的关系$

• 设其中X为连续型随机变量时,有:

• $对于任意实数:a,b(a⩽b)$

  • $$P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

    • 推导:

    • $$\begin{gathered} P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)={\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{-\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x \\ ={\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{-\infty }f(x)\mathrm{d}x \\ ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

    • 再回头看规范性:

      • $P(\Omega )=P(-\infty <X<+\infty )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$

  • $$\begin{gathered} 设ϵ>0,ϵ可以视为积分变量的微分:|\mathrm{d}x|=ϵ>0 \\ P(a<X⩽a+ϵ)={\int }_a^{a+ϵ}f(x)\mathrm{d}x \\ F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)\mathrm{d}x \\ 从几何意义上看,概率的微分 \\ {F}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x \\ F(-\infty )=0 \\ \mathrm{d}P(X<x)=d(F(x))=f(x)\mathrm{d}x \\ (对上式两边同时微分,微积分第一基本定理) \end{gathered}$$

$F(x)是连续函数$

• $f(x)在x_0处连续时,f(x_0)=F^{\prime }(x_0)$

  • $$F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt\stackrel{\Delta x\to 0}{\to }0$$

概率为0或1的事件

• $\forall 常数c,P(X=c)=0$

  • $$\begin{gathered} 对于\Delta x>0 \\ 0⩽P(X=c)<P(c-\Delta x<x⩽c)=F(x)-F(c-\Delta x)=0(\Delta x\to 0^{+}) \\ 由夹逼法则,P(X=c)=0 \end{gathered}$$

  • 可见,连续型随机变量取一个具体值的概率是0

    • 但是,对于连续型随机变量取值的每一次观察将导致一个概率为0事件发生
    • 这表明:
      • 概率为0的事件不一定是不可能事件
      • 同样,概率为1的事件也不一定是必然事件
      • 但是有时候是确定可能或不可能
        • 若 a ∈ {   x ∣ f ( x ) > 0   } 若a\in\set{x|f(x)>0} 若a∈{x∣f(x)>0},则事件P(X=a)是有可能发生的
        • 若 a ∈ {   x ∣ f ( x ) = 0   } , 则事件 P ( X = a ) 是不可能发生 若a\in \set{x|f(x)=0},则事件P(X=a)是不可能发生 若a∈{x∣f(x)=0},则事件P(X=a)是不可能发生
        • 从几何角度理解,概率密度>0的区间上是随机变量可能的取值范围
          • 而概率密度区间为=0的区间是随机变量不可能取值的区间

  • 基于此有:

    • P ( a ⩽ X < b ) = P ( {   X = a   } ∪ {   a < X < b   } ) = P ( X = a ) + P ( a < X < b ) = P ( a < X < b ) P(a\leqslant XP(a⩽X<b)=P({X=a}∪{a<X<b})=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b)

    • 类似的:

      • $$P(a<X<b)=P(a<X⩽b)=P(a⩽X<b)=P(a⩽X⩽b)$$

其他性质

• $改变密度函数f(x)在有限个点处的函数值(并且保证这些值非负)$

  • $比如得到新的函数g(x)$

  • 根据概率密度的定义,g(x)也是X的概率密度函数

  • 因此,改变有限个点处的密度函数值不会影响分布函数

    • 即不同的密度函数可能得到相同的分布函数!

    • 🎈一个随机变量的分布函数是确定的,但是它的概率密度却不是唯一的

例

• f ( x ) = { 1 , 0 < x < 1 0 , e l s e g ( x ) = { 1 , 0 ⩽ x ⩽ 1 0 , e l s e f(x)=

  {1,0<x<10,else" role="presentation">{1,0,0<x<1else$$\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1\\ 0,& else\end{array}$$
  \\ g(x)=
  {1,0⩽x⩽10,else" role="presentation">{1,0,0⩽x⩽1else$$\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽x⩽1\\ 0,& else\end{array}$$
  f(x)={1,0,​0<x<1else​g(x)={1,0,​0⩽x⩽1else​

• $f(x),g(x)(作为概率密度)在是不同的两个函数,但是它们有相同的分布函数$

• F ( x ) = { 0 , x < 0 x , 0 ⩽ x ⩽ 1 1 , x > 0 F(x)=

  {0,x<0x,0⩽x⩽11,x>0" role="presentation">⎧⎩⎨0,x,1,x<00⩽x⩽1x>0$$\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x,& 0⩽x⩽1\\ 1,& x>0\end{array}$$
  F(x)=⎩ ⎨ ⎧​0,x,1,​x<00⩽x⩽1x>0​

  F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x 由于 f ( x ) 是个分段函数 , 因此积分的时候也要相应的分段 f ( x ) 在不同段 ( x 落在不同区间 ) 下的积分如下 { F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ x 0 d x = C ∣ − ∞ x = C − C = 0 , x < 0 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 0 d x + ∫ 0 x 1 d x = 0 + x ∣ 0 x = x − 0 = x , 0 ⩽ x ⩽ 1 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 0 d x + ∫ 0 1 1 d x + ∫ 1 x 0 d x = x ∣ 0 1 = 1 , x > 0 F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)\mathrm{d}x \\由于f(x)是个分段函数,因此积分的时候也要相应的分段 \\f(x)在不同段(x落在不同区间)下的积分如下 \\

  {F(x)=∫−\infinxf(x)dx=∫−\infinx0dx=C|−\infinx=C−C=0,x<0F(x)=∫−\infinxf(x)dx=∫−\infin00dx+∫0x1dx=0+x|0x=x−0=x,0⩽x⩽1F(x)=∫−\infinxf(x)dx=∫−\infin00dx+∫011dx+∫1x0dx=x|01=1,x>0" role="presentation">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪F(x)=∫x−\infinf(x)dx=∫x−\infin0dx=C|x−\infin=C−CF(x)=∫x−\infinf(x)dx=∫0−\infin0dx+∫x01dx=0+x|x0=x−0F(x)=∫x−\infinf(x)dx=∫0−\infin0dx+∫101dx+∫x10dx=x|10=0,=x,=1,x<00⩽x⩽1x>0$$\{\begin{array}{lll}F(x)={\int }_{-\text{infin}}^{x}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\text{infin}}^{x}0\mathrm{d}x=C{|}_{-\text{infin}}^x=C-C& =0,& x<0\\ F(x)={\int }_{-\text{infin}}^{x}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\text{infin}}^{0}0\mathrm{d}x+{\int }_0^{x}1\mathrm{d}x=0+x{|}_0^x=x-0& =x,& 0⩽x⩽1\\ F(x)={\int }_{-\text{infin}}^{x}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\text{infin}}^{0}0\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}1\mathrm{d}x+{\int }_1^{x}0\mathrm{d}x=x{|}_0^1& =1,& x>0\end{array}$$
  F(x)=∫−∞x​f(x)dx由于f(x)是个分段函数,因此积分的时候也要相应的分段f(x)在不同段(x落在不同区间)下的积分如下⎩ ⎨ ⎧​F(x)=∫−∞x​f(x)dx=∫−∞x​0dx=C∣−∞x​=C−CF(x)=∫−∞x​f(x)dx=∫−∞0​0dx+∫0x​1dx=0+x∣0x​=x−0F(x)=∫−∞x​f(x)dx=∫−∞0​0dx+∫01​1dx+∫1x​0dx=x∣01​​=0,=x,=1,​x<00⩽x⩽1x>0​

  F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 x , 0 < x < 1 1 , x ⩾ 0 F(x)=

  {0,x⩽0x,0<x<11,x⩾0" role="presentation">⎧⎩⎨0,x,1,x⩽00<x<1x⩾0$$\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ x,& 0<x<1\\ 1,& x⩾0\end{array}$$
  F(x)=⎩ ⎨ ⎧​0,x,1,​x⩽00<x<1x⩾0​
  • $两种写法在邻接出F(0)=0;F(1)=1都是一致的$

密度函数&分布函数&概率间的联系

• $由密度函数f积分(变上限积分)得到分布函数F$

  • 注意,密度函数的一条性质中有一个定积分(规范性:从$-\infty \to +\infty$),区别于变上限积分

• 求解随机变量落在给定区间内的概率

  • $由分布函数F作差计算$
  • 也可以直接通过密度函数,通过定积分来计算

例

f ( x ) = { a x + b , 0 < x < 2 0 , e l s e P ( 1 < X < 3 ) = 0.25 f(x)=

\\P(1f(x)={ax+b,0,​0<x<2else​P(1<X<3)=0.25

• 根据规范性:

  • $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1 \\ 再结合密度函数f(x)分段区间 \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=0+{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+0=1 \\ (\frac{a{x}^2}{2}+bx){|}_0^2=2a+2b=1 \\ a+b=\frac{1}{2} \\ 结合给出的特殊概率: \\ P(1<X<3)=0.25 \\ P(1<X<3)={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+0={\int }_1^2(ax+b)\mathrm{d}x=0.25 \\ (\frac{a{x}^2}{2}+bx){|}_1^2=2a+2b-(\frac{1}{2}a+b)=\frac{3}{2}a+b=0.25 \\ a=-0.5,b=1 \end{gathered}$$

  • f ( x ) = { − 1 2 x + 1 , 0 < x < 2 0 , e l s e F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = { ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x = 0 , x ⩽ 0 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 x ( − 1 2 x + 1 ) d x = 0 + − x 2 4 + x = − x 2 4 + x , 0 < x < 2 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 2 f ( x ) d x + ∫ 2 x f ( x ) d x = 0 + 1 + 0 = 1 , x ⩾ 2 f(x)=

    {−12x+1,0<x<20,else" role="presentation">{−12x+1,0,0<x<2else$$\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}x+1,& 0<x<2\\ 0,& else\end{array}$$
    \\F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)\mathrm{d}x= \\
    {∫−\infin0f(x)dx=0,x⩽0∫−\infin0f(x)dx+∫0x(−12x+1)dx=0+−x24+x=−x24+x,0<x<2∫−\infin0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫2xf(x)dx=0+1+0=1,x⩾2" role="presentation">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫0−\infinf(x)dx=0,∫0−\infinf(x)dx+∫x0(−12x+1)dx=0+−x24+x=−x24+x,∫0−\infinf(x)dx+∫20f(x)dx+∫x2f(x)dx=0+1+0=1,x⩽00<x<2x⩾2$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\int }_{-\text{infin}}^{0}f(x)\mathrm{d}x=0,}& x⩽0\\ {\displaystyle {\int }_{-\text{infin}}^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^x(-\frac{1}{2}x+1)\mathrm{d}x=0+\frac{-x^2}{4}+x=\frac{-x^2}{4}+x,}& 0<x<2\\ {\displaystyle {\int }_{-\text{infin}}^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{x}f(x)\mathrm{d}x=0+1+0=1,}& x⩾2\end{array}$$
    f(x)={−21​x+1,0,​0<x<2else​F(x)=∫−∞x​f(x)dx=⎩ ⎨ ⎧​∫−∞0​f(x)dx=0,∫−∞0​f(x)dx+∫0x​(−21​x+1)dx=0+4−x2​+x=4−x2​+x,∫−∞0​f(x)dx+∫02​f(x)dx+∫2x​f(x)dx=0+1+0=1,​x⩽00<x<2x⩾2​

  • $P(X>1.5)=1-P(X⩽1.5)=1-F(1.5)=\frac{1}{16}=0.0625$

tips

分布函数和密度函数

• 密度函数为0的区间(点)表示随机变量取值不可能落在那里
• $密度函数为0的区间[a,b]其上的积分P(a⩽x⩽b)=F(b)-F(a)也是0$
  • 但是小心,$及时x\in [a,b];F(x)可能是大于0的,而且经常可以取1🎈,因为,F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)\mathrm{d}x$
    • $除非f(x)在[-\infty ,a]有f(x)=0,否则就不可以直接断言[a,b]上有F(x)=0$

🎈定性判断:从概率密度函数图像判断随机变量在某个区间内的取值概率

例

• f ( x ) = { 3 x 2 , 0 < x < 1 0 , e l s e f(x)=

  {3x2,0<x<10,else" role="presentation">{3x2,0,0<x<1else$$\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1\\ 0,& else\end{array}$$
  f(x)={3x2,0,​0<x<1else​

  这里例子中 , f ( x ) 被分为三段 , 容易直接推断分布函数中的首尾两段 中间段的 x 3 结果不一定要算出来 , 特别是有些求随机变量的密度函数的问题 , 不必求出 P ( X < x ) = { 0 , x < 0 1 , x > 1 ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 x 3 x 2 d x = x 3 , 0 ⩽ x ⩽ 1 这里例子中,f(x)被分为三段,容易直接推断分布函数中的首尾两段 \\中间段的x^3结果不一定要算出来,特别是有些求随机变量的密度函数的问题,不必求出 \\ P(X

  {0,x<01,x>1∫−\infinxf(x)dx=∫0x3x2dx=x3,0⩽x⩽1" role="presentation">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,1,∫x−\infinf(x)dx=∫x03x2dx=x3,x<0x>10⩽x⩽1$$\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x>1\\ {\displaystyle {\int }_{-\text{infin}}^{x}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{x}3x^2\mathrm{d}x=x^3,}& 0⩽x⩽1\end{array}$$
  这里例子中,f(x)被分为三段,容易直接推断分布函数中的首尾两段中间段的x3结果不一定要算出来,特别是有些求随机变量的密度函数的问题,不必求出P(X<x)=⎩ ⎨ ⎧​0,1,∫−∞x​f(x)dx=∫0x​3x2dx=x3,​x<0x>10⩽x⩽1​

概率的近似:概率密度微分

• $$\begin{gathered} 从分布函数F(x)=P(X⩽x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)\mathrm{d}x \\ 以及公式:P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x \\ 的角度来看,以[a,b]为底, \\ 以曲线f(x)为顶的曲边梯形的面积表示的就是是概率P(a<X⩽b) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 从极限的角度考虑上述公式: \\ 取b=a+\Delta x \\ P(a<X⩽x+\epsilon )=F(a+\epsilon )-F(a)={\int }_a^{a+\epsilon }f(x)\mathrm{d}x \\ a一般化,用x代替a \\ P(x<X⩽x+\Delta x)=F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_x^{x+\Delta x}f(x)\mathrm{d}x\approx f(x)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 即,运用化曲为直的近似思想,可以得到小曲边梯形近似称小矩形的结果 \\ {\int }_x^{x+\Delta x}f(x)\mathrm{d}x表示[x,x+\Delta x]区间内的曲顶面积 \\ f(x)\mathrm{d}x=f(x)\Delta x则表示面积近似的矩形(估计值) \\ 容易发觉,当f(x_1)>f(x_2)的是时候,X的取值落在x_1附近的概率比较大 \\ (概率密度函数在x=x_1附近区间的积分的面积(近似小矩形面积)比较大) \end{gathered}$$