核酸检测多少人为一组混检合适？

今天在想一个有趣的问题。核酸检测的混检，必然是当患病率越低时，则混到一个管子的人数越多越好，因为这样检测的期望次数就会更少。那么问题来了，当患病率多高时，混检就失去了意义？当混检没失去意义时，检测多少次才会令期望的检测次数最低。

知乎上有人给出了这个问题的 答案。然而，这个答案我并不是非常地满意，他们只是考虑总人数比较多的时候，用样本概率去近似估计条件概率，有一定的近似成分在里面。能精确逼近的，为什么要用估计？我不喜欢这个。某种意义上来说，他们给出的答案是 “不对” 的。“不对” 加引号是因为，即使不对，在样本数足够大的情况下，几乎是对的。

来，我们来考虑一下这个问题。不妨假设总人数为 $N$，患病（敏感词汇，用患病替代）的人数为 $M$，假设混检的策略采用 $k$ 个人一组进行混检，检出患病，这 $k$ 个人则进行一次额外的检测。问，给定 $N$ 和 $M$ 的情况下，总的检测次数（期望意义下）和 $k$ 是什么样的一个关系？为了方便，假设下述的所有相除数量关系都是可以整除的，这个不是重要的。

如果我们以所有人数作为考虑，计算他们总检测次数的期望，你会发现，它的检测次数出现的情况非常多，小到 $N/k+k$，大到 $N/k+Mk$。而要计算每个次数出现的概率，要算很多组合数，非常麻烦。因为，我们不妨换一个角度，考虑每个人消耗检测次数的期望值，再把它乘以总人数 $N$，那么就得到这个整体的检测次数的期望。

对于一个人来说，他消耗的检测次数要么是 $1/k$，要么是 $1+1/k$，只有这两种情况，相对简单多了。 $1/k$ 当且仅当他的这一组里面，没有人患病。它的概率是：
$$P(1/k)=\frac{C_{N-M}^k}{C_N^k}=\prod _{i=0}^{k-1}\frac{N-M-i}{N-i}$$
同理，只要这一管子里面有人患病，那么他消耗的检测次数就会变成 $1+1/k$。这种情况发生的概率为：
$$P(1+1/k)=1-\frac{C_{N-M}^k}{C_N^k}=1-\prod _{i=0}^{k-1}\frac{N-M-i}{N-i}.$$
那么，一个人的消耗的检测次数的数学期望为：
$$E(k)=1/k\ast P(1/k)+(1+1/k)\ast P(1+1/k)=\frac{k+1}{k}+\prod _{i=0}^{k-1}\frac{M-N+i}{N-i}$$
MMP，这个似乎没办法再化简。不是我不行，我用 MATLAB 符号计算试了一下，确实没法化简。用到的代码如下：

clc
clear
close all
syms N M 
k = 5;
Pk1 = 1;
for i = 0:k-1
    Pk1 = Pk1*(N-M-i)/(N-i);
end
Pk1_ = 1-Pk1;
E = 1/k*Pk1+(1+1/k)*Pk1_;
Esim = simplify(E)
Efac = factor(Esim);
latex(Esim)
latex(Efac)
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那么，总的检测次数的数学期望就是 $N\ast E(k)$，一般我们考虑 $E(k)$ 就可以了。我们用两种方法来验证一下这个结果，第一个方法是找一些简单的值和手算做对比，第二个方法是用程序做一个大数据量下的仿真。

当 $M=1$，$N=4$，$k=2$ 时，$N\ast E(k)=4$，和我们手算的结果一样。所用到的程序如下。

NE(M,N) = N*E;
NEfun = matlabFunction(NE);
NEfun(2,6)
1
2
3

当 $M=2$，$N=6$，$k=3$ 时，$N\ast E(k)=6.8$，和我们手算的结果 6.5 不一样。手算的过程为，$6$ 个人两组，至少要做两次。两个患病的进入一个管子的概率如同时抛两枚硬币，硬币朝向是相同的概率为 0.5。故而，有 0.5 的可能要多做 3 次，有另外 0.5 的可能要多做 6 次。一次总的次数 $2+3\ast 0.5+6\ast 0.5=6.5$。

这里的结果发生了不一致，到底是谁对谁错呢？让我们用程序仿真来模拟一下。

clc
clear
close all
M = 2;
N = 6;
k = 3;
Ms = 1:M;

s = 0;
NN = 1000000;
N_k = N/k;
for ii=1:NN
    R = reshape(randperm(N),k,[]);
    res = 0;
    for i=1:N_k
        if(intersect(R(:,i),Ms)>0)
            res = res+1;
        end
    end
    s = s+res*k+N_k;
    s/ii
end

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模拟的结果是 6.8，说明我们手算的那个思路是不对的，我来看看为什么。其实很简单，2个管子，6 个人，每个管子 3 个人，2 个患病的人进入同一个管子的概率不是 1/2，而是 $1/2\ast 2/5\ast 2=2/5$。这个和抛硬币是不一样的，仔细想想就知道了，这里不再赘述。一言以蔽之，抛硬币没有一管三人的约束，是不一样的。

接下来，我们来看一下，在 $M$ 和 $N$ 固定的情况下，$E$ 和 $k$ 是什么样一个限制关系，以及 $E(k)$ 的极值点在哪。上面的论述都是基于 $k>1$ 的时候，当 $k=1$ 的时候，因为就一个人，即使测出患病，也没必要再测一次。所以，需要对公式做一个修正。考虑
$$\begin{gathered} E(k)=\frac{k+1}{k}+\prod _{i=0}^{k-1}\frac{M-N+i}{N-i}，k>1 \\ E(k)=1，k=1. \end{gathered}$$

事实上，$E$ 关于 $k$ 求导 $E^{\prime }(k)$ 是一件非常麻烦的事情，不是初等数学可以做的。所以，我们寄希望于用 MATLAB 画一下图，再看看结果。为了把细节看清楚，我分了两张图画。

从图上可以看得出来，当患病率高于 0.3 的时候，就已经不适合混检了。

可以看得出来，患病率越低，可以达到的极值点越小。且随着 $k$ 的增加，$E(k)$ 先减后增，最后总是趋向于 1 的。当患病率低到 0.01 左右的时候，差不多 10 个人混检是比较合理的。

clc;clear;close all;
Rs = [0.05 0.04 0.02 0.011 0.01 0.005 0.001 0.0005];
%Rs = 4/100000;
for R = Rs
    N = 40000000000000;
    M = round(N*R);
    K = 50;
    for k=1:K
        y(k) = E(N,M,k);
    end
    plot(1:K,y);
    title('个人消耗检测数随混检人数 k 的变化')
    xlabel('混检人数 k')
    ylabel('每个人消耗试剂数期望 E(k)')
    hold on;
    [val,ind] = min(y);
    text_points(ind,val,val)
    %scatter(ind,val)
end
for i = 1:length(Rs)
    legends{i} = ['患病率R=' num2str(Rs(i))];
end
legend(legends)


function Ev = E(N,M,k)
if(k==1)
    Ev=1;
    return;
end
Pk1 = 1;
for i = 0:k-1
    Pk1 = Pk1*(N-M-i)./(N-i);
end
Pk1_ = 1-Pk1;
Ev = 1./k*Pk1+(1+1./k).*Pk1_;
end

function text_points(x,y,R)
sz = length(x);
if(size(x,2)>1)
    x = x.';
end
if(size(y,2)>1)
    y = y.';
end
if(size(R,2)>1)
    R = R.';
end
strs = [num2str(x) ',' num2str(R)];
text(x,y,strs);
end
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还有一个问题是，考虑到北京市当前的极低的患病率，大约 4/100000，那么得到的最优的 $k$ 就应该是 160。但是现在却不以这个数值执行，这是为什么呢？这是因为取这个最优值消耗的试剂虽然是少了。但是对于被检测者来说，不管是混检还是单检，做一次核酸真的就是要付出做一次核酸的成本，排一次队，刮一次鼻子，遭一次罪。混检对测试成本消耗来说，确实是 $1/k$，但对于被测试这来说，他就是 1。极端情况，如果 $k=1$ ，百姓只要做一次核酸，核酸免费的时代，他们当然更愿意单检。反之，如果 $k$ 太大了，虽然检测次数期望达到了最优，但是一旦某个管子检测出患病，哪怕里面只有一个人患病，就要白白拉着其他 $k-1$ 个人再做一次检测。将被检测者的感受纳入考量，本着以人为本，所以这个 $k$ 不一定要取到最优，有时候牺牲一点测试成本，换来大家的轻松，也是很好的选择。

有人说，可以再采用的时候，把每个人的样本分两份，当检测出患病的时候，再把备份拿出来单独测，这样就不需要喊人来车第二次了。考虑到患病率极低，这种分两份的人工成本是极高的，已经远远超过了把一起混检的人喊来再测一次的成本，更远远超过了不采用最优参数 $k$ 而采用更小的，所损失的测试成本。