Mathematica对函数表达式求导并设置为新的自定义函数

自定义函数

自定义函数需要注意亮点
1、最好使用 := 而非 =
2、定义时等式左端函数变量有下划线，被称为“空白”

Wolfram 系统变换规则最强有力的方面或许是它们不仅能用于表达式，而且能用于模式（patterns）. 模式是一个诸如f[t_] 这样的包含下划线的表达式. 下划线可以代表任何表达式. 这样，对 f[t_] 的变换规则将变换具有任何 自变量的函数 f. 注意，作为对照，对不带有下划线的 f[x] 的变换规则只变换表达式 f[x]，而对诸如 f[y] 等表达式没有任何作用.
当用户定义一个函数，例如 f[t_]:=t^2 时，所做的事情是告诉 Wolfram 系统，在任何可能的时候，自动使用变换规则f[t_]->t^2.
（引自MMA教程“函数的变换规则”）

定义函数后可以对变量赋值，也可以作图

f2[t_] := t^3
f2[3]
f2[a]
Plot[f2[t], {t, 0, 3}]
1
2
3
4

对函数表达式求导

这个操作相对简单，直接用 D[f,x] 或 D[f,{x,n}]，分别代表求偏导数和高阶导数。
下面给出例子

f[x_] := x^5 + 6 x
D[x^5 + 6 x, x]
D[f[x], x]
D[f[t], t]
1
2
3
4

运行结果为

将求导结果存为新的自定义函数

有的时候希望能把求导的结果存为一个新的自定义函数，以方便后期使用。
一个直观但是错误的方法是

从上图看出，g[t]的结果似乎没问题，但g[3]的结果就不太对了。
这里的原因在于 给x赋值时原函数f里的x也被赋值了。
查看 f 和 g 可以发现g并不是一个独立的函数，而是要先把变量代入f，然后再求导。所以对于g[2]而言，就相当于求 D[f(2),2]，这就不合理了。
下面提供了4个方案，其中前两个方案感觉最优。

解决方案1

在自定义函数时一般习惯用 :=，而此处恰恰改用 = 就能解决问题。即

f[x_] := x^5 + 6 x
g[x_] = D[f[x], x]
g[t]
g[2]
1
2
3
4

结果如下

解决方案2

使用Block（块）

Block[{x,y,...},expr] ，意为指定用符号 x、y、… 的局部值计算 expr.

f[x_] := x^5 + 6 x
g[x_] = Block[{t}, t = x; D[f[t], t]];   (*注意这里用的是=*)
g[t]
g[2]
1
2
3
4

结果如下

解决方案3

与上一解决方案类似，注意这里用的是 :=

f[x_] := x^5 + 6 x
g[x_] := Block[{result}, result = D[f[t], t] /. {t -> x}; 
   Return[result]];
g[t]
g[2]
1
2
3
4
5

解决方案4

既然问题的原因在于x的赋值上，那么就改变变量名。
但这样的缺点就在于函数多了那自变量名也多了。

f[x_] := x^5 + 6 x
g[xx_] := D[f[x], x] /. x -> xx
g[t]
g[2]
1
2
3
4

结果如下