图形学-向量基础与应用

1.向量

1.1 什么是向量

向量指的是具有大小（Magnitude）和方向（Direction）量。在物理学中也称为矢量。向量的表示通常使用小写字母上面加上向右的箭头 → 表示，例如a；或者使用粗体的小写字母表示，例如 a。向量具有平移不变形。向量只与大小和方向有关系，和向量的起点和终点没有关系。向量也只包含两个属性：大小和方向。对于空间中的两个点 𝐴 和 𝐵，从 𝐴 到 𝐵 的向量可以表示为 ⃖⃖⃖⃖⃗ 𝐴𝐵，计算方法为 ⃖⃖⃖⃖⃗ 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴。

1.2 向量归一化

向量的大小（长度）称为向量的模（norm），一般记作

单位向量（Unit vector）指的是模为 1 的向量。单位向量的计算公式为：

单位向量的长度为 1，一般只用来表示方向。

1.3 向量求和

向量的求和可以用两种法则：平行四边形法则或者三角形法则。

两个向量相加时，以表示这两个向量的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表向量和的大小和方向，这就叫做平行四边形定则（Parallelogram law）。

**三角形法则（Triangle law）**是指两个向量，将一个向量的起点移动到另一个向量的终点时，向量和为从未移动向量的起点指向所移动向量的终点的向量。三角形法则适用于多个向量求和，只需要将向量按照相加顺序依次首尾排列，第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是求和的结果。在代数上，对于在笛卡尔坐标系中定义的向量，向量求和可以简化为求向量各个对应坐标值的和。

1.4 笛卡尔坐标系

在数学里，笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system)，亦称直角坐标系，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直，相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。对于向量，我们认为所有向量都是以原点为起点，那么终点的坐标就可以表示一个唯一的向量。
在计算机图形学中，我们默认所有的向量都是列向量，用符号表示向量，向量的转置以及向量的模如下：

1.5 向量乘法

点乘

点乘（Dot product），又称为向量的内积。计算公式为：

点乘满足交换律以及分配律。

在笛卡尔坐标系下点乘的计算结果是逐坐标元素相乘后相加的结果

点乘的应用：

1. 计算两个向量的夹角；
   通过原公式我们可以推出：
   
   当两个向量都是单位向量时，我们可以得出更为简单的公式：
   
   我们可以求出两个向量夹角的余弦值，从而得到两个向量的夹角大小。

2. 计算一个向量到另一个向量上的投影
   向量b在向量a上的投影满足：
   
   𝑘 的大小为：𝑘 = ||𝑏⟂|| = ||𝑏|| cos𝜃. 已知两个向量的内积，一个向量在另一个向量上的投影长度为
   

3. 计算两个向量的接近程度；
   根据 cos 在角度 [0, 𝜋 ] 之间的值可以得出结论，越接近（夹角比较小）的两个向量的单位向量点乘结果越接近于 1，反之越远离（夹角比较大）的两个向量的单位向量点乘结果越接近于-1

4. 计算两个向量的方向是相同还是相反的。
   首先我们定义两个向量的方向相同或者相反。如图所示，向量a 以其垂线为分界，在上半部分（上半圆）
   的向量认为和向量a方向基本相同，在下半部分（下半圆）的向量认为和向量a方向基本相反。
   
   
   叉乘
   叉乘（Cross product），又称作向量的外积。两个向量叉乘的结果还是一个向量，这个向量和原来的两个向量垂直。叉乘的结果向量的长度为：
   
   结果向量的方向满足右手定则. 右手定则指的是，使用右手的四指从第一个向量到第二个向量握拳，大拇指指向的方向是叉乘结果向量的方向。因此叉乘不满足交换律
   

叉乘满足分配律，以及数乘结合律。向量自己和自己的叉乘结果是 0.
在笛卡尔坐标系的表示下进行叉乘计算的结果可以写作

我们可以将向量a写成等价的矩阵形式

叉乘的应用

1. 判断一个向量在另一个向量的左边还是右边；
   一个向量对另一个向量做叉乘，如果说结果方向为正，那么另一个向量在这个向量的右边。如果结果为负，那么在左边。

2. 判定一个点在三角形的内部还是外部。
   
   只要 P 点在边 AB，BC，AC（注意输入顺序）的左边，那么就满足 P 点在三角形 ABC 中。那么可以对每个边分别求一次叉乘判断点是否在三角形内部。三角形的输入必须保证为顺时针或者逆时针。为了忽略顺时针和逆时针的差别（顺时针输入需要要求点在三角形每一条边的右边），只要 P 在都在每条边的左边或者每条边的右边都算作在三角形内部。对于边界情况（如果叉乘结果为 0），那么由自己根据实际问题定义这是内部还是外部