P2605 [ZJOI2010]基站选址（线段树优化dp经典题）

题目链接：[ZJOI2010]基站选址 - 洛谷

思路总结：线段树优化dp的基本套路是，把当前要计算的dp信息放在f数组中，把上一轮计算完的dp信息放在线段树里，通过线段树快速的区间加，区间查询操作推算出当前的dp值。

本题思路：dp数组定义：表示第j个基站建立在i位置，考虑[1, i]位置产生的最小总费用。

dp式子是，

其中cost(k,i)为[k+1,i-1]区间中因为信号覆盖不到产生的总赔偿费用，c[i]为在i处建基站的费用。

看到式子里有min，并且显然，很容易想到用线段树来弄，但是又发现这个cost(k,i)不太好维护。下面就重点说说这个怎么处理。

我们不直接计算cost(k,i)，而是考虑这样一个问题，对于一个村庄x，什么时候它会产生赔偿w[x]？

我们先预处理出最左边和最右边的信号能覆盖到x的村庄编号L[x]和R[x]，那么当kR[x]时，会产生赔偿w[x]。放在线段树上处理就是：当i=R[x]+1时，我们就让线段树上[1, L[x]-1]的位置+=w[x]，表示：如果上一个基站建在[1,L[x]-1]的位置的话，那么w[x]就会产生贡献了。那么如何方便地找到刚好在i-1位置的那些R[x]呢？用一个vector来存就可以了。

法一：直接按照上述方法处理，有两点需要注意：

1.建第一个基站的时候，因为不存在“上一个基站”，所以不能用线段树转移，而是另外处理。

2.因为线段树的信息延后一个回合，所以要处理完建k+1个基站的信息，才能得出建k个基站的最终答案。

#include 
using namespace std;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a), (i##i)=(b); i<=(i##i); ++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a), (i##i)=(b); i>=(i##i); --i)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
#define int long long
#define pii pair
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
const int N = 2e5+5, inf = 1e18;
int n,k,f[N]; //假设当前考虑总共建k个基站，f[i]是第k个基站建在i位置时的[1,i]区间最小成本
int d[N],c[N],s[N],w[N]; //距离，建站费用，接收范围，赔偿金额
int L[N], R[N]; //第i个村庄的信号接收范围
vector<int> v[N]; //v[R[i]]存放对应的所有i
int t[N<<2], lz[N<<2]; //mn线段树
 
void pushup(int o){t[o]=min(t[ls], t[rs]);}
void build(int o,int l,int r){
	lz[o]=0;
	if(l==r){t[o]=f[l]; return;}
	int mid=l+r>>1;
	build(ls,l,mid), build(rs,mid+1,r);
	pushup(o);
}
void pushdn(int o){
	if(!lz[o]) return;
	t[ls] +=lz[o], t[rs] +=lz[o];
	lz[ls]+=lz[o], lz[rs]+=lz[o];
	lz[o]=0;
}
void upd(int o,int l,int r,int x,int y,int val){
	if(x>y) return; //无效区间不予修改
    if(x<=l && r<=y){
        t[o]+=val, lz[o]+=val;
        return;
    }
    pushdn(o);
	int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) upd(ls,l,mid,x,y,val);
    if(y> mid) upd(rs,mid+1,r,x,y,val);
    pushup(o);
}
int query(int o,int l,int r,int x,int y){
	if(x>y) return inf; //无效区间赋最大值
	if(x<=l && r<=y) return t[o];
	pushdn(o);
	int res=inf, mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) cmin(res, query(ls,l,mid,x,y));
	if(y >mid) cmin(res, query(rs,mid+1,r,x,y));
	return res;
}
 
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	//输入
    cin>>n>>k;
	FOR(i,2,n) cin>>d[i];
	FOR(i,1,n) cin>>c[i];
	FOR(i,1,n) cin>>s[i];
	FOR(i,1,n) cin>>w[i];
 
	//预处理接收范围
	FOR(i,1,n){
		L[i] = lower_bound(d+1,d+n+1,d[i]-s[i])-d;
		R[i] = upper_bound(d+1,d+n+1,d[i]+s[i])-d-1;
		v[R[i]].push_back(i);
	}
 
	int cur=0, ans=0;
	FOR(i,1,n) ans+=w[i]; //如果不建任何基站，那么ans就是sum(w[i])
	FOR(j,1,n){ //考虑在j位置建立第一个基站
		f[j]=cur+c[j]; //在j出建第一个基站，[1,j]总共所花费用
		for(int x:v[j]) cur+=w[x]; //赔偿费用累加到cur上
	}
	FOR(i,2,k+1){ //为什么这里最后要到k+1而不是k呢，因为线段树落后一个回合，第k+1回合结束之后，线段树才有第k回合的完整信息
		build(1,1,n); //根据第i-1回合的dp信息来建树
		FOR(j,1,n){ //枚举建立第i个基站的位置
			f[j] = query(1,1,n,1,j-1)+c[j];
			for(int x:v[j]) upd(1,1,n,1,L[x]-1,w[x]);
		}
		cmin(ans, query(1,1,n,1,n)); //此时收集的是建了i-1个基站的最小总费用
	}
	cout<
}

 

法二：运用一个小trick，让n++，k++，然后在新的n位置加一个虚拟村庄，最后答案就是ans=f[n]，因为是让第k+1个虚拟基站建在这个虚拟村庄这里，用于收集答案。

#include 
using namespace std;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a), (i##i)=(b); i<=(i##i); ++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a), (i##i)=(b); i>=(i##i); --i)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
#define int long long
#define pii pair
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
const int N = 2e5+5, inf = 1e18;
int n,k,f[N]; //假设当前考虑总共建k个基站，f[i]是第k个基站建在i位置时的[1,i]区间最小成本
int d[N],c[N],s[N],w[N]; //距离，建站费用，接收范围，赔偿金额
int L[N], R[N]; //第i个村庄的信号接收范围
vector<int> v[N]; //v[R[i]]存放对应的所有i
int t[N<<2], lz[N<<2]; //mn线段树
 
void pushup(int o){t[o]=min(t[ls], t[rs]);}
void build(int o,int l,int r){
	lz[o]=0;
	if(l==r){t[o]=f[l]; return;}
	int mid=l+r>>1;
	build(ls,l,mid), build(rs,mid+1,r);
	pushup(o);
}
void pushdn(int o){
	if(!lz[o]) return;
	t[ls] +=lz[o], t[rs] +=lz[o];
	lz[ls]+=lz[o], lz[rs]+=lz[o];
	lz[o]=0;
}
void upd(int o,int l,int r,int x,int y,int val){
	if(x>y) return; //无效区间不予修改
    if(x<=l && r<=y){
        t[o]+=val, lz[o]+=val;
        return;
    }
    pushdn(o);
	int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) upd(ls,l,mid,x,y,val);
    if(y> mid) upd(rs,mid+1,r,x,y,val);
    pushup(o);
}
int query(int o,int l,int r,int x,int y){
	if(x>y) return inf; //无效区间赋最大值
	if(x<=l && r<=y) return t[o];
	pushdn(o);
	int res=inf, mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) cmin(res, query(ls,l,mid,x,y));
	if(y >mid) cmin(res, query(rs,mid+1,r,x,y));
	return res;
}
 
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	//输入
    cin>>n>>k;
	FOR(i,2,n) cin>>d[i];
	FOR(i,1,n) cin>>c[i];
	FOR(i,1,n) cin>>s[i];
	FOR(i,1,n) cin>>w[i];
	n++; d[n]=inf, c[n]=0, s[n]=0, w[n]=0; //虚拟村庄
 
	//预处理接收范围
	FOR(i,1,n){
		L[i] = lower_bound(d+1,d+n+1,d[i]-s[i])-d;
		R[i] = upper_bound(d+1,d+n+1,d[i]+s[i])-d-1;
		v[R[i]].push_back(i);
	}
 
	//先考虑只在i处建基站的情况，计算出对应的ans和dp值
	int cur=0, ans=inf; //cur是当前赔偿总金额，ans是最终答案
	FOR(i,1,n){
		f[i]=cur+c[i];
		for(int x:v[i]) cur+=w[x]; //在i之后的位置放基站将不会覆盖v[i]中的村庄，所以赔偿金额加上所有w[x]
	}
	cmin(ans, f[n]); //只在虚拟村庄建站（也就是不建站的ans）
 
	//考虑建i个站的情况
	FOR(i,2,k+1){
		build(1,1,n); //根据之前的dp值建站
		FOR(j,1,n){ //考虑在j位置建第i个基站
			f[j]=query(1,1,n,1,j-1)+c[j]; //当前在j建，上一个在[1,j-1]中某个位置k建，目前总成本是pref[k]+cost(k,j)+c[j]
			for(int x:v[j]) upd(1,1,n,1,L[x]-1,w[x]); //此后j的基站信号不再覆盖x，[1,L[x]-1]部分地方要加上x的赔偿费用
		}
		cmin(ans, f[n]); //在虚拟村庄接收答案
	}
	cout<
}