矩阵理论复习部分——线性代数（2）矩阵运算

一、矩阵类型

1、转置矩阵： A = ( 3 2 1 1 2 3 2 3 1 ) A =

A=⎝ ⎛​312​223​131​⎠ ⎞​ ， A T = ( 3 1 2 2 2 3 1 3 1 ) A^T =

(312223131)" role="presentation">⎛⎝⎜321123231⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 2& 2& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$$

AT=⎝ ⎛​321​123​231​⎠ ⎞​，$T$ 表示矩阵的转置

2、对角矩阵： ( 2 0 0 0 3 0 0 0 1 )

⎝ ⎛​200​030​001​⎠ ⎞​，对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为 $\mathrm{diag}(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$

3、上下三角矩阵： ( 1 2 3 0 2 3 0 0 1 )

⎝ ⎛​100​220​331​⎠ ⎞​ ， ( 1 0 0 3 2 0 2 3 1 )

(100320231)" role="presentation">⎛⎝⎜132023001⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 2& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

⎝ ⎛​132​023​001​⎠ ⎞​

4、单位矩阵： ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = E = I

= E = I ⎝ ⎛​100​010​001​⎠ ⎞​=E=I

5、正交矩阵：若 $n$ 阶方阵 $A$，满足$A{A}^T=E$，称 $A$ 为正交矩阵

6、对称矩阵：$A^T=T$

二、矩阵的基本运算

1、加法、减法：矩阵对应元素位置直接进行加减法运算，矩阵形状不发生改变；
2、乘法：左行乘右列（矩阵能够进行乘法的前提是：矩阵的左行等于右列）；

三、矩阵运算相关性质

矩阵运算不一定满足交换律：$AB\ne BA$

数乘分配律：
$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵分配律：
$(AB)C=A(BC)$

$A(B+C)AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

$EA=AE=A$

转置相关性质：
$(A^T{)}^T=A$

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$（有些特殊）

模的性质：
$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|$

$|\lambda A|={\lambda }^n|A|$ （ $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数）