Kruskal算法

$$Kruskal算法$$

功能

$Kruskal$算法专门用来求一个图的$最小生成树$。效率非常的好哦！

简介

$Kruskal$算法又称$加边法$。该算法通过对边权进行排序后，依此加入每条边同时判断生成的图是否连通来进行求解一个图的最小生成树问题。

算法流程

$首先默认去除图中所有的边只剩下点，之后一条一条加边试探！！$

①. 将所有的边按照$权重的大小从小到大$进行排序。
②

for(每条边 a → b (权重w))
{
    if(如果原本a，b两个点不在一个连通分量之中)
    {
        将这条边加入到集合中
        res += 边长
    }
}

$res$：最后最小生成树的值。

算法解析

1. $边权排序：$
   按照边权从小到大进行排序，每次都加入最小的边进行试探，这样保证求出来的生成树最小($贪心$)。
2. $循环：$
   ①.循环遍历的是每个边，但是每次加入边的时候都会判断$a$和$b$是否处于同一连通分量。这样就保证了最多加入$n-1$条边，不会有全连通之后还重复加边的情况。
   ②.但是有可能会有加边不够的情况，如果给定的图从一开始就是不连通的，最后加入边的条数一定会小于$n-1$，因为$n$个点有$n-1$边是全连通的最基本条件。
   if(cnt < n - 1) return INF;
3. $实现使用什么结构...？$
   根据$Kruskal$算法的要求，每次遍历一个边都需要判断，这个边所连接的两个点是否在同一连通块，换句话说就是判断是不是在同一个集合。并且如果能加入这条边，那么也要能够快速的将两个点并入同一个集合。$纯纯的并查集暗示!!$
   所以使用并查集来进行操作的实现。

完整代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge         //一个结构体，直接封装三个数据，左边的点、右边的点、边的权重
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const     //<号的重载，方便调用sort函数排序
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     //并查集find函数
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])    寻找祖宗节点 + 路径压缩    
    return p[x];
}

int Kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;       //res存储最小生成树值，cnt存储边的数量
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )       //遍历所有的边
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);       //找到a和b的集合号
        if (a != b)             //a和b没有在同一个集合
        {
            p[a] = b;           //a所在集合并入b所在的集合
            res += w;
            cnt ++ ;            //表示加入这条边
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;        //初始图非连通情况
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = Kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}